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Cálculo

Cálculo

El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y Derivación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz. En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo. El desarrollo y uso del cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas las áreas de la vida moderna. Es base para casi todos los campos científicos, en especial, la física. Prácticamente todos los desarrollos técnicos modernos como técnicas de construcción, aviación, etc hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan hoy en día en balística, calefacción, refrigeración, etc. El éxito del cálculo ha sido extendido con el tiempo a las ecuaciones diferenciales, al cálculo de vectores, al cálculo de variaciones, al análisis complejo y a la topología diferencial.

Enlaces externos

- [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/analysis/function.es Cálculo de funciones] ja:微分積分学 categoría:matemáticas

Geometría

La geometría, informalmente, es la parte de las matemáticas que estudia idealizaciones del espacio: los puntos, las rectas, los planos y otros elementos conceptuales derivados de ellos, como polígonos o poliedros. Se utiliza para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible y es la justificación teórica de muchos instrumentos: compás, teodolito, pantógrafo, sistema de posicionamiento global. También es la que permite medir áreas y voluúenes, es útil en la preparación de diseños, e incluso en la fabricación de artesanías. Desde un punto de vista mas riguroso, según el Programa de Erlangen [http://valle.fciencias.unam.mx/titulacion/4e.pdf], la Geometría es la rama de la Matemática que estudia los invariantes del espacio mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes, y al estudio de cada familia de propiedades invariantes determinadas por cada grupo de trasnformaciones en cada conjunto es a lo que se dedica la Geometría.

Historia

Ver Historia de la Geometría

Método sintético de la Geometría

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición, entonces es necesario un método riguroso (que no permita deslices). Para conseguirlo, se diferencian tres tipos de enunciados: los axiomas, las definiciones y los teoremas.

Axiomas

Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros. Nótese que éstos sólo afirman cosas terriblemente obvias. Para facilitar su estudio se distinguen (según Hilbert) cinco grupos de axiomas:

1-Existencia e Incidencia

Son aquellos que aseguran las condiciones de existencia de los puntos, rectas y planos. (sin estos no podríamos empezar a trabajar) y tambíen nos indican cómo inciden unos conceptos en los otros. Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano). Para determinar una recta, son necesarios dos puntos (y solo dos) . En cambio, para determinar un plano son necesarios tres. Para ver estos conceptos más gráficamente se puede observar que si se agarra un palo "recto" en un solo punto, el palo se balancea, mientras que si se toman dos, este queda fijo. Igualmente, se puede ver al agarrar una hoja de cartón desde uno o dos puntos (entonces se balancea como la recta) y que se fija si la agarramos en tres puntos. Además, la recta es intuitivamente una figura plana así como una figura recta, si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano y si dos puntos de una recta están en una recta, las rectas coinciden (son las mismas).

2- Ordenación

Ordenación en la recta: Estos axiomas ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o mejor dicho como nuestro ideal de recta. Tengase en cuenta que nunca la definimos).
- Si selecciónamos dos puntos distintos en una recta, habrá un punto entre medio.
- Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta: el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están de un lado y los que están del otro). División del plano: Una recta, divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado y los que están del otro)

3-Movimiento y congruencia (o igualdad)

En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla, etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos, aquellos que no alteren la "forma" del objeto (por lo que abrir una caja no se considera un movimiento).
- Solo existe un moviento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra.

4-Continuidad.

Axioma de Arquimedes: Se impone que todo segmento sea divisible Axioma de la plenitud: Se impone que el conjunto de puntos de una linea no pueda ser ampliado mediante cierres (límites de sucesiones)

5-Paralelismo

Son un tipo de axioma no necesario, pero posible. Habitualmente se impone a la geometria a usar el axioma de euclides en la forma "Por un punto externo a una recta dada existe a lo sumo una paralela"

Definiciones

Se puede ver que en los anteriores axiomas todo es aceptable, excepto el detalle (importante) de que no dijimos que es una semirrecta, que es un semiplano y que es un movimiento (o sea, omitimos hasta ahora definir estos conceptos)

Semirrecta

Una semirrecta, es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de esta. Para determinarla se especificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión)

Semiplano

Un semiplano, analogo a la semirrecta, es el conjunto de puntos del plano que están a un lado de una recta. Para determinarlo se especifica el plano en cuestión, la recta que lo divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que la recta que divide al plano pertenece al semiplano en cuestión)

Movimiento

La definición de un movimiento es más complicada que las anteriores, pero se hace más clara cuando se avanza en el estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente que se trata de transformaciones que transforman figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc) en otros de la misma clase, a estos últimos se los llama "homólogos de los primeros en la transformación". Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman un punto que pertenece a una recta, en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver, cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo.

Teoremas

Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas.
- Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos (fijesé que eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo, alcanza con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indihttp://www.sapiens.ya.com/geolay/pagehtm/geometria.htm cado en el axioma, etc.)
- También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultaneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta, los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano). movimiento
- Como un ejemplo más complejo, podemos afirmár que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero demostrarlo es complicado, primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos), para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y estos deben estar fuera de la recta (ya que si tubieran otro punto común las dos rectas coincidirían y eso es una contradicción, ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta)). Veasé la figura 1.

Otros metodos de estudio de las geometrias

Ver Geometría Cartesiana y Geometría Diferencial

Extensiónes

Dada la vastedad del tema en cuestión, aquí se proponen algunos temas relativos a la geometría para encontrar la totalidad de los datos en la Wikipedia relativos a la geometría, simplemente elija por donde desea continuar.

Las figuras geométricas

El avance de la geometría depende fuertemente del avance en las definiciones, las propiedades de los triangulos son posibles de enunciar sin hacer referencia a estos, pero sería un proceso largo tedioso e inútil. Por lo tanto, los teoremas relativos a cada figura que se defina (y su respectiva definición), serán enunciados dentro de sus páginas respectivas.
- Las figuras fundamentales(sin definición):Punto, Recta y Plano.
- En la recta se pueden ver: Segmentos, semirectas y vectores
- En el plano, una recta determina dos semiplanos, su intersección determina las figuras convexas: faja, Ángulo, Triángulo, cuadriángulo y Polígono.
- Utilizando el concepto de distancia: se definen: el círculo y la esfera.
- Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro, y los poliedros . Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepipedo.
- El concepto de círculo en el espacio da origen a: el Cono y el cilindro Existen otras figuras geometricas, que seran definidas dentro de cada página vinculada a ésta.

Relaciones y propiedades

Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes, dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares o oblicuas (se cortan en un punto formando angulos no rectos). En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas). Notese que estas relaciones son definiciones (en nuestro esquema). Uno de los conceptos más importantes dentro de la geometría es el de congruencia o igualdad.

Clases de geometrías

Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si nosotros agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas validos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más). Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todas las geometrías. (a pesar de que no siempre enunciados en la misma forma) A esta geometría se le llama geometría absoluta. Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana también conocida como geometría plana (enseñada en la escuela). Agregando a estos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (estos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La Geometría descriptiva, es la que se encarga de que los problemas posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano. Si cambiamos el axioma de las paralelas por otros se obtienen las geometrías no euclídeas. Quitando el axioma sin sustituirlo por otro se obtiene la geometría neutral, que engloba la Euclidea y la hiperbolica. Finalmente, incluyendo un axioma que considere los puntos del infinito como normales, obtenemos la Geometría Proyectiva

Enlaces externos

- [http://www.xtec.es/~jdomen28/aarticle2.htm Demostraciones del quinto postulado]
- [http://www.epsilones.com/paginas/t-historias1.html#historias-tresproblemas Epsilones - Los tres problemas clásicos de la geometría] Categoría:Geometría ja:幾何学 ko:기하학 simple:Geometry zh-min-nan:Kí-hô-ha̍k

Pirámide

El término pirámide puede referirse a:
- La figura geométrica.
- La construcción, existiendo ejemplos como:
- Antiguo Egipto
- Pirámide de Keops
- Pirámide de Kefren
- Pirámide de Mikerinos
- Gran Pirámide de Giza
- También otras culturas construyeron importantes pirámides:
- Pirámides de los aztecas
- Pirámides de Caral
- Pirámides de los incas
- Pirámide el Sol
- Pirámides de los mayas
- Pirámide de Xi'An
- Pirámide de Popayán ja:ピラミッド ko:피라미드 ms:Piramid

Infinito

# Aquello que no tiene fin. # En matemáticas infinito, representado como un 8 horizontal es la cota superior del conjunto numérico de los Números Reales. (

\infty

). #
- No es realmente un número. #
- Todo número dividido por cero, excepto cero, da como resultado Infinito. #
- Indica la imposibilidad de realizar alguna operación sobre un cierto valor numérico. #
- A pesar de todo, si observamos puntos muy próximos (esto es, buscamos el límite), vemos que acercándonos lo suficiente los resultados pueden superar cualquier valor prefijado por muy grande que sea: no existe, pero si nos acercamos mucho se dispara. # En informática, algunos lenguajes de programación admiten un valor especial que recibe el nombre de infinito, valor que se puede obtener como resultado de ciertas operaciones matemáticas no realizables, como las descritas en el punto anterior. En otros lenguajes simplemente se produciría un error.

Véase también

- Números infinitos
- Infinitesimal
- Asíntota
- Paradojas sobre el infinito ja:無限 ko:무한 simple:Infinity

Círculo

En geometría Euclidiana, un círculo es el conjunto de todos los puntos de un plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio de un punto fijo del mismo plano, llamado centro. Es común también que círculo se refiera a la superficie interior contenida y así es definido oficialmente por la RAE. Los círculos son curvas simples cerradas en un plano que dividen a éste en dos: interior y exterior. Si se utiliza la palabra círculo para referir a la superficie interior, entonces el perímetro de éste se nombra circunferencia. Si se utiliza la palabra círculo bajo su definición Euclidiana entonces la superficie interior se nombra disco.

Definición matemática

En un sistema coordenado

x

y

, el círculo con centro C(

x

₀,

y

₀) y de radio

r

es el conjunto de todos los puntos

p

_i tales que: :

\left( x - x_0 \right)^2 + \left( y - y_0 \right)^2=r^2.

Si el círculo tiene su centro en el origen

O(0, 0)

, entonces la fórmula anterior puede simplificarse como: :

x^2 + y^2 = r^2.

El círculo con centro en el origen y de radio igual a

1

es llamado círculo unitario.

Propiedades

círculo unitario círculo unitario Una línea que atraviesa el círculo por dos puntos se llama secante y una línea que toca el círculo en un solo punto se llama tangente. Toda línea tangente es forzosamente perpendicular al radio que va del punto de contacto al centro del círculo. El segmento de recta de una secante que está acotado por el círculo se llama cuerda, es decir una línea que une dos puntos cualesquiera del círculo. La cuerda más larga pasa por el centro del círculo y se llama diámetro, éste está formado por dos radios colineales y divide al círculo en dos partes idénticas. Cada una de las dos áreas del círculo que resultan de una cuerda es llamado segmento. Si se requiere distinguirlas entre sí se les denomina segmento mayor y segmento menor, dependiendo del área que cada una contenga. Si sólo una parte del círculo es conocida (un arco cualquiera), entonces el centro puede encontrarse con el siguiente procedimiento: #Tómese dos cuerdas no paralelas. #Encuéntrese el punto medio de éstas cuerdas. #Tráscence líneas perpendiculares sobre estos puntos medios. #El punto donde éstas líneas se intersectan es el centro del círculo buscado. El radio correspondiente a un arco puede calcularse a partir de la longitud L de la cuerda y la distancia D que va del centro de la cuerda al punto más cercano al círculo por varios métodos como son:
- Por método geométrico. :

\mbox=((L/2)^2+D^2)/2D

- Por método trigonométrico. :

=.

Detalle de una cuerda. Detalle de una cuerda. Detalle de una cuerda. Cualquier parte de la circunferencia comprendida entre dos radios se llama arco, y el área que este arco describe junto con los radios que lo generan se llama sector. La razón entre la longitud del arco y el radio definen el ángulo entre los dos radios en radianes, este mismo valor define el tamaño del arco en radianes. Todo triángulo define varios círculos:
- Circunscrito, pasa por los tres vértices.
- Inscrito, tiene como tangentes a los tres lados del triángulo y el cual está totalmente contenido en éste.
- Círculos externos, se ubican fuera del triángulo, son perpendiculares a un lado y a las extensiones de los otros dos.
- Círculo de los nueve puntos, el cuál contiene varios puntos importantes del triángulo. El Teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre un círculo dado con uno de sus lados siendo el diámetro del círculo, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto. radianes Dados tres puntos cualesquiera que no pertenezcan a una misma recta, éxiste un único círculo que contiene en perímetro a estos tres puntos (este círculo se refiere como circunscrito a el triángulo definido por éstos puntos). Dados tres puntos <(x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃)>, la ecuación del círculo está dada de forma simple por la determinante matricial:

\det\begin
x   & y   & x^2 + y^2 & 1 \\
x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\
x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\
x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\
\end = 0.

Un círculo es una forma de sección cónica, con excentricidad cero. Un círculo de radio,

r

, tendrá una superficie o área de: :

S = \pi \cdot r^2

Y un perímetro de: :

P = 2 \cdot \pi \cdot r

Simbología cristiana

El círculo es el elemento geométrico perfecto, representación de lo celestial. Es símbolo solar y de la morada divina. Los ábsides son semicirculares: allí está simbólicamente Dios. La cúpula redonda es la morada de Dios en el cielo, (incluso se pintaba con representaciones celestes y ángeles). El círculo se identificaba en la simbología cristiana con la eternidad. Las figuras redondas simbolizan la eternidad por no tener principio ni fin. Representan también el cielo, el mundo y la fortuna. La palabra latina caelum significa cielo, firmamento y forma circular. San Gregorio Magno veía en la Osa Mayor que daba vueltas alrededor de la Polar sin alejarse nunca de ella, el símbolo de la Iglesia que jamás se aparta de Dios. Categoría:Curvas Categoría:Símbolos ja:円 (数学) simple:Circle

Polígono

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados: p.e. el hexágono es un polígono de seis lados. La palabra "polígono" procede del griego y quiere decir muchos (poly) y ángulos (gwnos). La suma de los ángulos internos de un polígono es:

(n-2)180

grados. El número de diagonales de un polígono está dado por

n(n-3)/2

, donde n es el número de lados del polígono. Los polígonos cuyos lados tienen la misma longitud y todos sus ángulos son iguales son llamados polígonos regulares.

Véase también

- Mediana
- Mediatriz
- Paralelogramo ---- Geometría | Matemáticas
- ja:多角形

Paradoja

Una paradoja es una declaración en apariencia verdadera que conlleva a una auto-contradicción lógica o a una situación que contradice el sentido común. En palabras simples, una paradoja es 'lo opuesto a lo que uno considera cierto'. La identificación de paradojas basadas en conceptos en apariencia razonables y simples ha impulsado importantes avances en la ciencia, filosofía y las matemáticas. Entre los temas recurrentes en las paradojas se encuentra la auto-referencia directa e indirecta, la infinitud, definiciones circulares y confusión de niveles de razonamiento. La etimología de la palabra paradoja proviene de comienzos del período renacentista europeo o los acelerados avances científicos de Eurasia luego del 1500. Las primeras formas de la palabra aparecieron como la palabra del latín paradoxum, pero es encontrada también en textos griegos como paradoxon. Se encuentra compuesta por el prefijo para-, que significa "contrario a" o "alterado", en conjunción con el sufijo doxa, que significa "opinión". Palabras similares son ortodoxo o heterodoxo. La paradoja del mentiroso y otras paradojas similares ya se estudiaron en la edad media bajo el título insolubilia. En filosofía moral una paradoja juega un rol particularmente importante en debates sobre ética. Por ejemplo, una admonición ética a "amar a tu vecino" no solamente se encuentra en contraste, sino también en contradicción, con un vecino armado que intenta asesinarte: de ser exitoso, entonces, uno no es capaz de amarlo. Sin embargo, atacar o reprimir al vecino agresor no es generalmente considerado amar. Esto puede ser llamado un dilema ético. Otro ejemplo es el conflicto entre el mandato de no robar y la responsabilidad personal de alimentar a la familia, la cual, bajo determinadas circunstancias, no puede ser mantenida sin dinero robado. No todas las paradojas son iguales. Por ejemplo, la paradoja del cumpleaños puede ser definida mejor como una sorpresa que como una paradoja, mientras que la resolución de la paradoja de Curry es aún un tema importante de debate. =Tipos de paradojas= No todas las paradojas encajan con exactitud en una única categoría. Algunos ejemplos de paradojas son:

Según su veracidad y las condiciones que las forman

Algunas paradojas sólo parecen serlo, ya que lo que afirman es realmente cierto o falso, otras se autocontradicen, por lo que se consideran verdaderas paradojas, mientras que otras dependen de su interpretación para ser o no paradójicas.

Paradojas verídicas

Son resultados que aparentan ser absurdos a pesar de ser demostrable su veracidad. A esta categoría pertenecen la mayor parte de las paradojas matemáticas.
- Paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas en una reunión cumplan años el mismo día?
- Paradoja de Galileo: A pesar de que no todos los números son números cuadrados, no hay más números que números cuadrados.
- Paradoja del hotel infinito: Un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más huéspedes, incluso si está lleno.

Paradojas falsídicas

Establecen un resultado que no sólo aparenta ser falso, sino que es falso dada una falacia en la demostración ofrecida. Las demostraciones falsas (por ejemplo, que demuestran que 1=2) se incluyen en esta categoría.
- Paradoja del caballo Muestra cómo todos los caballos del mundo son del mismo color.
- Paradoja de Epiménides Un cretense afirma que "Todos los cretenses son unos mentirosos".
- Paradoja del examen sorpresa ¿Es posible tener un examen sorpresa si te avisan con antelación?
- Paradojas de Zenón Si Aquiles corre más rápido que una tortuga, ¿cómo es que no puede alcanzarla?

Antinomias

Son paradojas que alcanzan un resultado que se autocontradice, aplicando correctamente modos aceptados de razonamiento. Muestran fallos en un modo de razonamiento, axioma o definición previamente aceptados. Por ejemplo, la Paradoja de Grelling-Nelson señala problemas genuinos en nuestro modo de entender las ideas de verdad y descripción. Muchos de ellos son casos específicos, o adaptaciones, de la Paradoja de Russell.
- Paradoja de Russell ¿Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos?
- Paradoja de Curry "Si no me equivoco, el mundo se acabará en diez días"
- Paradoja del mentiroso "Esta oración es falsa"
- Paradoja de Grelling-Nelson ¿Es la palabra "heterológico", que significa "que no describe a sí mismo", heterológica?
- Paradoja de Berry
- Paradoja de la suerte Es de mala suerte ser superticioso

Antinomias de definición

Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sin las cuales no alcanzan una contradicción.
- Paradoja sorites ¿En qué momento un montón deja de serlo cuando se quitan granos de arena?
- Paradoja de Teseo Cuando se han reemplazado todas las partes de un barco, ¿sigue siendo el mismo barco?

Paradojas condicionales

Sólo son paradójicas si se hacen ciertas suposiciones. Algunas de ellas muestran que esas suposiciones son falsas o incompletas.
- Paradoja de Newcomb Cómo jugar contra un oponente omnisciente
- Paradoja de San Petersburgo La gente solo arriesgará una pequeña cantidad para obtener una recompensa de valor infinito.
- Paradoja del viaje en el tiempo ¿Qué pasaría si viajas en el tiempo y matas a tu abuelo antes de que conozca a tu abuela?

Según el área del conocimiento al que pertenecen

Todas las paradojas se consideran relacionadas con la lógica, que antiguamente se consideraba parte de la filosofía, pero que ahora se ha formalizado y se ha incluido como una parte importante de las matemáticas. A pesar de ello, muchas paradojas han ayudado entender y avanzar algunas áreas concretas del conocimiento.

Paradojas en Matemáticas / Lógica

- Paradoja de Banach-Tarski

Paradojas sobre la probabilidad y la estadística

- Paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas en una reunión cumplan años el mismo día?
- Paradoja de Simpson: Al agregar datos, podemos encontrar relaciones engañosas
- Paradoja de Arrow: No puedes tener todas las ventajas de un sistema de votación ideal al mismo tiempo.
- Problema de Monty Hall Y tras la puerta número dos... (Cómo la probabilidad no es intuitiva)

Paradojas sobre lógica

A pesar de que todas las paradojas se consideran relacionadas con la lógica, hay algunas que afectan directamente a su bases y postulados tradicionales. Las paradojas más importantes relacionadas directamente con el área de la lógica son las antinomias, como la paradoja de Russell, que muestran la inconsistencia de las matemáticas tradicionales. A pesar de ello, existen paradojas que no se autocontradicen y que han ayudado a avanzar en conceptos como demostración y verdad.
- Paradoja del actual rey de Francia: ¿Es cierta una afirmación sobre algo que no existe?
- Paradoja del cuervo (o cuervos de Hempel): Una manzana roja incrementa la probabilidad de que todos los cuervos sean negros.

Paradojas sobre el infinito

El concepto matemático de infinito, al ser contrario a la intuición, ha generado muchas paradojas desde que fue formulado.
- Paradoja de Galileo: A pesar de que no todos los números son números cuadrados, no hay más números que números cuadrados.
- Paradoja del hotel infinito: Un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más huéspedes, incluso si está lleno.
- Conjunto de Cantor: O cómo quitar elementos de un conjunto y que siga teniendo el mismo tamaño.
- Cuerno de Gabriel (o Trompeta de Torricelli) ¿Cómo puede ser necesaria una superficie infinita para contener un volumen finito?
- Paradojas de Zenón: Unas paradojas falsídicas que tratan de utilizar el infinito para demostrar que el movimiento no puede existir.

Paradojas en Física

- Paradoja de Bell
- Paradoja de Olbers ¿Por qué, si hay infinitas estrellas, el cielo es negro?
- Paradoja de Maxwell o Demonio de Maxwell. Una aparente paradoja clásica de la termodinámica.
- Paradoja de los gemelos Cuando uno de los hermanos regresa de un viaje a velocidades cercanas a las de la luz descubre que es mucho más joven que su hermano.
- Paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen. Una paradoja sobre la naturaleza de la mecánica cuántica propuesta por estos tres físicos.
- Paradoja de Fermi. Si el Universo estuviera poblado por civilizaciones avanzadas tecnológicamente, ¿dónde están?
- El experimento de Young en su versión electrón a electrón. Una paradoja cuántica. En el experimento de Young se pueden hacer pasar electrones por una doble rendija uno a uno de manera corpuscular, como si fueran partículas, obteniéndose sin embargo una figura de interferencias.

Paradojas en Economía

- Paradoja de Jevons Un incremento en la eficiencia conlleva un mayor incremento en la demanda.

Otras paradojas

Paradoja de Abilene = Referencias = Quine, W. V. (1962) "Paradox". Scientific American, April 1962, pp. 84–96. Michael Clarke. Paradoxes from A to Z. London: Routledge, 2002. = Véase también =
- Objetos imposibles =Enlaces externos=
- [http://www.websters-online-dictionary.org/definition/english/pa/paradox.html Paradoja en Diccionario webster (inglés)]
- Categoría: Figuras retóricas Categoría:Lógica ja:パラドックス simple:Paradox

Zenón de Elea

Zenón de Elea (en griego Ζήνων ο Ελεάτης) fue un filósofo eleata griego nacido en Elea (¿490-430? a. de C.). Al igual que Meliso, reforzó y argumentó a favor de la filosofía parmenidea, es conocido por sus paradojas que niegan la existencia del movimiento o la pluralidad del ser. Zenón trató de probar que el ser tiene que ser homogéneo, único y, en consecuencia, que el espacio no está formado por elementos discontinuos sino que el universo entero es una única unidad. Inventó la demostración llamada ad/absurdum (reducción por el absurdo), que toma por hipótesis las afirmaciones del adversario y muestra los absurdos a los que se llegaría si esa hipótesis fuera verdadera, obligando al interlocutor, en última instancia, a aceptar la tesis opuesta a la que sostuvo en un principio. Sus principales argumentos son : #Contra la pluralidad como estructura de lo real #Contra la validez del espacio #Contra la realidad del movimiento #Contra la realidad del transcurrir el tiempo Es necesario dejar constancia que los razonamientos de Zenón constituyen la huella más vieja que se conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado muchos siglos después. El cálculo diferencial nace con Leibniz el año 1666. Por lo tanto, podría decirse y considerarse a este eleata como un precursor del Cálculo Infinitesimal, pero en ningún caso se puede decir que él dominara este pensamiento.

Véase también

- Paradojas de Zenón
- Filósofos presocráticos Zenón de Elea Zenón de Elea ja:ゼノン (エレア派)

Siglo XVII

Siglo: Tabla anual siglo XVII (siglo XVI - siglo XVII - siglo XVIII) Década: 1600s - 1610s - 1620s - 1630s - 1640s - 1650s - 1660s - 1670s - 1680s - 1690s ---- Formalmente el siglo XVII comprende los años 1601-1700 ambos incluidos.

Características del siglo XVII

- Demografía y estadística

Acontecimientos relevantes

- Ciencia y tecnología
- Inicios de la química
- Guerras y política
- 1609 Holanda se independiza virtualmente de España. Para desviar la atención, Felipe IV expulsa a los moriscos del país
- 1618-1648 Guerra de los Treinta Años
- 1669 Portugal recupera su independencia de España
- Desastres
- Cultura El siglo XVII es de un esplendor sin parangón, debido a que permite este tiempo desligarse de las ataduras provenientes de la Edad Media. El Renacimiento del siglo XVI es la puerta de entrada para que en los 100 años que corrieron de 1600 a 1700, la sociedad pudiese zafarse del viejo molde que implantaba métodos rígidos de comportamiento y actuación especialmente impuestos por la Iglesia. Al romper estos viejos moldes se permitió salirse de la rigidez de las estructuras lineales e imprimir nuevas formas de movimiento especialmente en el campo de las artes como podrían ser la pintura, escultura y arquitectura. Este adelanto de imprimir movimiento, rescatar las formas celestiales por medio de la ornamentación, y el paso de lo estático a lo dinámico se contempla como el estilo barroco, que es un estilo moderno que deja atrás al manierismo del siglo precedente. El barroco que se presenta en diferentes manifestaciones artísticas incluida la literatura en sus dos vertientes culteranismo y conceptismo, permite arraigar a la sociedad de entonces a un nuevo estilo de vida, en el que se adapta y acepta vivir bajo situaciones en constante cambio.

Personas relevantes

- Isaac Newton
- Pedro Calderón de la Barca
- Miguel de Cervantes y Saavedra (1574 - 1616)
- Felipe III es Felipe III quien expulsa a los moriscos
- Felipe IV
- Luis XIV
- Molière (1622 - 1673)
- Francisco de Quevedo Villegas
- Jean Racine
- Iyeyasu Tokugawa
- Lope de Vega
- Diego Rodríguez de Silva y Velázquez
- William Shakespeare (1564 - 1616) William Sakespeare ---- Si Vd. realiza alguna aportación en este sentido, le rogamos que consulte previamente la sección de plantillas de cronología, para así lograr una coherencia entre todos los autores. Categoría: Siglo XVII ja:17世紀 ko:17세기 th:คริสต์ศตวรรษที่ 17

Torricelli

Evangelista Torricelli (15 de octubre de 1608 - 25 de octubre de 1647) físico y matemático italiano. Natural de Faenza, quedó huérfano a edad temprana, por lo que fue educado bajo la tutela de su tío, Jacobo Torricelli, un fraile camaldulense que le enseño humanidades. En 1627 fue enviado a Roma para que estudiara ciencias con el benedictino Benedetto Castelli (1577 - 1644), llamado por Urbano VII para enseñar matemáticas en el colegio de Sapienza y uno de los primeros discípulos de Galileo. La lectura cuidadosa de la obra de Galileo Dialoghi delle nuove scienze (1638), le inspiró algunos desarrollos de los principios mecánicos allí establecidos que recogió en su obra De motu. En 1641, Castelli se puso en contacto con Galileo para mostrarle el trabajo de su pupilo y solicitarle que le acogiera, propuesta que Galileo aceptó, por lo que Torricelli se trasladó a Florencia, donde ejerció de amanuense de Galileo los últimos tres meses de la vida del sabio italiano, que falleció a principios del año siguiente. Tras la muerte de Galileo, Torricelli, que deseaba volver a Roma, cedió a las distinciones de Fernando II, y nombrado filósofo y matemático del gran duque y profesor de matemáticas en la academia, se estableció definitivamente en Florencia. En 1643 realizó el descubrimiento del principio del barómetro, por el que pasó a la posteridad, que demostraba la existencia de la presión atmosférica, principio posteriormente confirmado por Pascal realizando mediciones a distinta altura. La unidad de presión torr se nombró en su memoria. Enunció, además, el teorema de Torricelli, de importancia fundamental en hidráulica, según el cual (despreciando el efecto del rozamiento y resistencia deembocadura), un fluido se vierte por un pequeño orificio con igual velocidad que si cayera desde la superficie del líquido hasta el orificio: Velocidad = raíz cuadrada (2gh) Lo anterior es válido si: consideramos que la velocidad de las partículas superficie del líquido, aguas arriba del orificio, es nula comparada con la velocidad del fluído en este. Superficie del líquido y orificio están en contacto con la atmósfera. En 1644 publicó su trabajo sobre el movimiento bajo el título Opera geometrica. La publicación, junto a esta obra, de varios trabajos sobre las propiedades de las cicloides le supuso una agria disputa con Roberval, quien le acusó de plagiar sus soluciones del problema de la cuadratura de dichas curvas. Aunque no parece haber dudas de que Torricelli llegó al mismo resultado de forma independiente, no obstante, el debate sobre la primicia de la solución se prolongó hasta su muerte. Entre los nuevos descubrimientos que realizó, se encuentra el principio que dice que si una serie de cuerpos están conectados de modo tal que, debido a su movimiento, su centro de gravedad no puede ascender o descender, entonces, dichos cuerpos están equilibrio. Descubrió además que la envolvente de todas las trayectorias parabólicas descritas por los proyectiles lanzados desde un punto con igual velocidad, pero en direcciones diferentes, es un paraboloide de revolución. Así mismo, empleó y perfeccinó el método de los indivisibles de Cavalieri También realizó importantes mejoras en el telescopio y el microscopio, siendo numerosas las lentes por él fabricadas y grabadas con su nombre, que aún se conservan en Florencia. Torricelli es además célebre por el descubrimiento de un sólido infinitamente largo llamado hoy día el cuerno de Gabriel que se caracteriza por tener una superficie infinita pero que encierra un volumen finito. Este descubrimiento fue apreciado en aquélla época como un a paradoja increíble, incluso por el propio Torricelli, provocando una fuerte polémica en torno a la naturaleza del infinito en la que intervino el filósofo Thomas Hobbes. Aquejado de pleuresía, falleció en Florencia cuando contaba tan sólo treinta nueve años y fue enterrado en San Lorenzo; dos siglos más tarde, en 1864 se erigió en Faenza, su ciudad natal, una estatua conmemorativa. Fuentes:
- Diccionario Enciclopédico Hispano-Americano, tomo XXI, Montaner y Simón editores, 1897.
- [http://1911encyclopedia.org/ 1911 Encyclopaedia Britannica.] Enlace externo:
- [http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/vaciado/vaciado.htm Teorema de Torricelli (Universidad del País Vasco)] Torricelli, Evangelista Torricelli, Evangelista ja:エヴァンジェリスタ・トリチェリ ko:에반젤리스타 토리첼리

Descartes

René Descartes (31 de marzo, 1596, La Haye - 11 de febrero, 1650, Estocolmo), Filósofo y matemático francés. René Descartes nació en 1596 en La Haye (Turena, cerca de Poitiers, Francia) en el seno de una familia de abogados, comerciantes y médicos. Fue el tercer hijo del jurista Joaquín Descartes y de Jeanne Brochard. Aunque René pensaba que su madre murió al nacer él, lo cierto es que murió un año después, durante el parto de un hermano que tampoco sobrevivió. Tras la muerte de su madre, él y sus hermanos fueron educados por su abuela, pues su padre, consejero del Parlamento de Bretaña, debía ausentarse por largas temporadas. Fue alumno de los jesuitas en el colegio de La Flèche (1606-1614). La educación en La Flèche le proporcionó, durante los cinco primeros años, una sólida introducción a la cultura clásica, habiendo aprendido latín y griego en la lectura de autores como Cicerón, Horacio y Virgilio, por un lado, y Homero, Píndaro y Platón, por el otro. El resto de la enseñanza estaba allí muy basada en textos de Aristóteles, acompañados básicamente por comentarios de jesuitas (Suárez, Fonseca, Toledo) y otros autores españoles (Cayetano, quizá Vitoria). Conviene destacar que Aristóteles era entonces el autor de referencia para el estudio, tanto de la física, como de la biología. El plan de estudios incluía también una introducción a las matemáticas (Clavius), tanto puras como aplicadas: astronomía, música, arquitectura. Siguiendo una extendida práctica medieval y clásica, en esta escuela los estudiantes se ejercitaban constantemente en la discusión (disputatio). A su egreso del Colegio a los 18 años, Descartes ingresó en la Universidad de Poitiers para estudiar Derecho y posiblemente, algo de medicina. En 1618 se alistó unos meses como voluntario en el ejército de Mauricio Nassau, en 1619 en el ejército del elector de Baviera y en 1621 en el ejército del conde de Bucquoy. Viajó por los Países Bajos, Alemania, Polonia y Hungría. Pasa 1622 en París, para emprender luego un viaje a Italia que duró de 1623 a 1624, volviendo a París de 1625 a 1629. En 1619, en Breda, conoció a Issac Beeckman, quien intentaba desarrollar una teoría física corpuscularista, muy basada en conceptos matemáticos. El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por las matemáticas y la física. Pese a los constantes viajes que realizó en esta época, Descartes no dejó de formarse y en 1620 conoció en Ulm al entonces famoso maestro calculista alemán J. Faulhaber. Él mismo refiere que inspirado por una serie de sueños, en esta época vislumbró la posibilidad de desarrollar una "ciencia maravillosa". El hecho es que, probablemente estimulado por estos contactos, Descartes resuelve problemas como el de la trisección del ángulo y la duplicación del cubo; también descubre el teorema denominado de Euler sobre los poliedros. A pesar de discurrir sobre los temas anteriores, Descartes no publica entonces ninguno de estos resultados. Durante su estancia más larga en París, Descartes reafirma relaciones que había establecido a partir de 1622 con otros intelectuales, como Marin Mersenne y Guez de Balzac, así como con un círculo conocido como "los libertinos". En esta época sus amigos propagan su reputación, hasta el punto de que su casa se convirtió entonces en un punto de reunión para quienes gustaban discutir y discurrir; con todo ello su vida parece haber sido algo agitada, pues en 1628 libra un duelo, tras el cual comentó que “no he hallado una mujer cuya belleza pueda compararse a la de la verdad”. El año siguiente, con la intención de dedicarse por completo al estudio, se traslada definitivamente a los Países Bajos, donde llevaría una vida modesta y tranquila, aunque cambiando de residencia constantemente para impedir que se supiera su paradero. Descartes permanece allí hasta 1649, viajando si embargo en una ocasión a Dinamarca y en tres a Francia). La preferencia de Descartes por Holanda parece haber sido bastante acertada, pues mientras en Francia muchas cosas podrían distraerlo y había escasa tolerancia, las ciudades holandesas florecían gracias al comercio y grupos de burgueses potenciaron las ciencias fundándose la academia de Ámsterdam en 1632. Entre tanto, el centro de Europa se desgarraba en la Guerra de los Treinta Años, que sólo terminaría en 1648. En 1629 Descartes se inscribe como alumno en la Universidad de Leiden y el año siguiente, en la de Franeker. En 1633, al enterarse de la condena de Galileo, Descartes suspende sus planes de publicar una obra que aparecerá póstumamente en dos partes (El mundo y El hombre). A partir de entonces Descartes reafirma su resolución de guardar una estricta reserva: en 1634 le escribe a Mersenne que su divisa es “vive bien quien bien se esconde” (bene vixit qui bene latuit). Sin embargo, esto no lo disuadió de publicar, pues en 1637 da al público tres ensayos científicos precedidos por el Discurso del Método. En 1635, fruto de una relación con la empleada de servicio, nació una pequeña a qien llamó Francine y que murió a los cinco años, mientras Descartes hacía planes para educarla en Francia. También en 1635 conoce al secretario del príncipe de Orange, Constantijn Huygens, a cuyo hijo Christiaan enseña matemáticas. Esta amistad le sería útil cuando en 1643 enfrentó la hostilidad de unos teólogos protestantes encabezados por el belicoso Voët, quienes consiguieron que la Universidad de Utrecht proscribiera sus doctrinas y lo obligaron a pasar unos meses en Francia. Otra amistad que fué importante para él fué la de Isabel, hija de los destronados y empobrecidos reyes de Bohemia, con quien mantuvo una interesante correspondencia. En 1649 y probablemente con la intención de conseguir ayuda para su amiga Isabel, Descartes acepta el llamado de la reina Cristina de Suecia. Ésta le concede libertad a Descartes durente el otoño, pero en invierno le pide lecciones a las cinco de la madrugada. Descartes muere ese mismo invierno, en febrero, victima de una afección pulmonar. En el sistema de Descartes, la filosofía engloba todas las ciencias. Es como un árbol cuya raíz es la metafísica, el tronco es la física y las ramas son las demás ciencias que, en lo esencial, reduce a tres: medicina, artes mecánicas y moral. Como científico, Descartes produjo al menos dos importantes revoluciones. En matemáticas simplificó las notaciones algebraicas y creó la geometría analítica. Fue el creador del sistema de coordenadas cartesianas lo cual abrió el camino al desarrollo del cálculo diferencial e integral por el matemático y físico inglés Sir Isaac Newton y el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz. En física, el sistema propuesto por Descartes consiguió desplazar al aristotélico, al proporcionar una explicación unificada de innumerables fenómenos, ópticos, astronómicos, el magnetismo, etc. De este modo sentó los principios del determinismo físico y biológico, así como de la psicología fisiológica.

Obras

Su primera obra fue "Reglas para la dirección del espíritu" (1628-1629) (póstuma). Luego escribió "El mundo" o "Tratado de la luz" y "El hombre" (1630-1633). En 1637 publicó el Discurso del método seguido de tres ensayos: "Dióptrica", "Geometría" y "Meteoros". Estas se consideran sus primeras obras de importancia. En 1641 publicó las Meditaciones metafísicas, que de nuevo aparecieron en 1642 acompañadas de un conjunto ampliado de Objeciones y respuestas. Hacia 1642 puede fecharse también un diálogo, "La búsqueda de la verdad mediante la razón natural" (póstumo). En 1647 aparecen los "Principios de filosofía". Por último, en 1649 se publican "Las pasiones del alma". En 1648 Descartes le concede una entrevista a Burman, un joven estudiante de teología, quien le hace interesantes preguntas sobre sus textos filosóficos. Burman registra detalladamente las respuestas de Descartes, y éstas usualmente se consideran genuinas. De Descartes también se conserva una copiosa correspondencia y algunos esbozos y otros opusculos que dejó inéditos. La edición de referencia de sus obras es la que prepararon Charles Adam y Paul Tannery a fines del S. XIX e inicios del XX, y a la que los comentaristas usualmente se refieren como (AT).

Filosofía

Al menos desde tiempos de Hegel, Descartes es considerado como el padre de la filosofía moderna. De hecho, los principales filósofos que lo sucedieron estudiaron con profundo interés sus teorías, sea para desarrollar sus resultados, o para objetarlo. Este es el caso de Spinoza, Leibniz, Malebranche, Locke e incluso Kant. Sin embargo, esta manera de juzgarlo no debe impedir la valoración de los estrechos vínculos que mantiene con los grandes filósofos clásicos, Platón y Aristóteles. Suele pensarse que desarrolló su nueva filosofía tomando como modelo los procedimientos deductivos de las ciencias exactas, concretamente de la aritmética y la geometría. Sin embargo, su método también puede interpretarse como basado en la aplicación de la idea clásica de una prueba dialéctica. En su investigación de la verdad, Descartes únicanente considera verdadero aquello de lo que que hay certeza (es decir, las ideas indudables), excluyendo, hasta no someterla al juicio de la razón, la supuesta verdad preestablecida, si ésta careciera de demostraciones rigurosas. Como filósofo, este autor puede considerarse como continuador de la investigación clásica, tal como había quedado planteada por Platón y Aristóteles. Su principal proyecto es diafanar las bases del conocimiento, en particular aquél de índole filosófica, para a partir de allí atender las otras preguntas funadmentales. Su manera de escribir puede considerarse como intencionalmente críptica, y la comprensión de sus obras exige la participación activa del lector. Otra postura apoyada por Descartes es la evidencia de la libertad, que afirma que actuar libre y voluntariamente es algo evidente por sí mismo. Por lo tanto, defiende la existencia de la libertad. Descartes fue considerado el filósofo de la duda porque pensaba que había que dudar de todo lo que fuera posible dudar. Estableció tres niveles de duda: el primero consistía en dudar de los sentidos; el segundo, en dudar de si algo es real o es un sueño; y el último dice que hay un ser superior que nos puede engañar en cualquier momento. Sin embargo, la duda no se entiende como un fin en sí mismo. Al contrario, es un medio para alcanzar el conocimiento cierto. Se trata de una duda metódica: al dudar de todo lo que se pueda dudar lo que queda es lo indudable, lo absolutamente cierto. Esta certeza absoluta se materializa en la proposición fundamental del sistema cartesiano: "Pienso, luego existo" (Cogito ergo sum).

Teoría de las tres substancias

La sustancia es aquello que existe por si mismo,que se vale por si mismo, sin necesidad de otra cosa, es decir, es aquello autosubsistente. Propiamente podemos decir que Descartes es solo sustancia. Hay dos tipos de sustancia para Descartes, la infinita y la finita.
- Sustancia infinita, es Dios, es la "res infinita", en ella se encuentra la idea de perfección, la idea del bien. El Dios cartesiano, no es como el cristiano, tiene como principal objetivo, reforzar el planteamiento de Descartes, un mundo de las ideas verídico, que no nos enganyará, no como el mundo de los sentidos, que nos lleva a la confusión.
- La sustancia finita, no es del todo autosubsistente como la infinita. De sustancias finitas encontramos dos, la "res cogitans" y la "res extensa". La "res cogitans" es la sustancia pensante, el alma. La "res extensa", es la parte fisica, el cuerpo. Estas dos sustancias finitas, nos invitan a un mundo dualista de Descartes. Para llegar de una realidad a otra, del cuerpo al alma, Descartes menciona que hay una glándula en el cerebro humano, la "Glándula Pineal".

Discurso del Método

Descartes consideraba que aunque la lógica tenía muchos preceptos, era suficiente con cuatro:
- El primero consistía en no admitir nunca algo como verdadero sin conocer con certeza que así es. Es decir, no admitir la precipitación y la prevención.
- El segundo, en dividir las dificultades que tenemos en tantas partes como sea posible para solucionarlas mejor.
- El tercero, en conducir con orden nuestros pensamientos, empezando por los más simples hasta los más complejos.
- Y el último, en hacer siempre revisiones amplias para estar seguros de no haber omitido nada.

Enlaces externos

- [http://gutenberg.net/etext/59 Discurso del Método] - en el Proyecto Gutenberg (en Inglés)
- [http://www.biblioweb.org/-DESCARTES-Rene-.html Biblioweb.org/-DESCARTES-Rene] Descartes, René Descartes, René Descartes, René ja:ルネ・デカルト ko:르네 데카르트 simple:René Descartes th:เรอเน เดส์การตส์

Álgebra

El Álgebra es la rama de las matemáticas que tiene por objeto de estudio la generalización de las relaciones aritméticas de los números. Etimológicamente, proviene del árabe (también nombrado por los árabes Amucabala)جبر (yebr) (al-dejaber), con el significado de reducción, operación de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos). El álgebra tuvo sus primeros avances en las civilizaciones de Babilonia y Egipto, entre el cuarto y tercer milenio antes de Cristo. Estas civilizaciones usaban primordialmente el álgebra para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. El álgebra continuó su constante progreso en la antigua Grecia. Los griegos usaban el álgebra para expresar ecuaciones y teoremas, un ejemplo es el teorema de Pitágoras. Los matemáticos más destacados en este tiempo fueron Arquímedes, Herón y Diofante. Arquímedes se basó en las matemáticas en su tratados de física y geometría del espacio. Herón fue otro que se basó en ellas para hacer algunos de sus inventos, como la primera máquina de vapor. Diofante fue el griego que más contribuyó a esta área del conocimientos, como principales trabajos tenemos al análisis diofántico y la obra de Las Aritméticas, que recopila todo el conocimiento del álgebra hasta ese entonces. Como consecuencia, el álgebra cambió de rumbo y amplió su dominio a todas las teorías que se habían inventado alrededor del tema inicial, incorporando las teorías de los grupo matemáticos y sus extensiones,y parte de la geometría, la rama relacionada con los polinomios de segundo grado de dos variables, es decir las cónicas elipse, parábola, hipérbola, círculo, ahora incluidas en el álgebra bilineal. El álgebra se fundió con éxito con otras ramas de la [[matemáticas]] como la [[lógica (álgebra de Boole), el análisis y la topología (álgebra topológica). ja:代数学 ko:대수학 ms:Algebra simple:Algebra

Área

Área es:
- Sinónimo de superficie
- Unidad de superficie: ver área (unidad de superficie)
- En biogeografía, área es la superficie geográfica concreta en la que se registra la presencia de una especie u otro taxón

Unidades

Las unidades para medir el área de una superficie incluyen: :área = 100 metros cuadrados :hectárea o hectómetro = 10,000 metros cuadrados :kilómetro cuadrado = 1,000,000 metros cuadrados :megametros cuadrados = 10¹² metros cuadrados

Formulas

- Área de un cuadrado o un rectángulo: Alto × ancho
- Área de un triángulo: 1/2base × Altura
- Área de un círculo: π×r²
- Área de una Esfera: 4π×r²

Tangente

En matemáticas, la palabra tangente tiene dos signifados diferentes, pero etimológicamente relacionados: uno en geometría y otro en trigonometría

Geometría

Sea C una curva, y A un punto de esta. Se supone que A es un punto regular de la curva, es decir que no es un punto anguloso: La curva no cambia repentinamente de dirección en A. La tangente a C en A es la recta T_A que pasa por A y que tiene la misma dirección que C alrededor de A. imagen:tangente.png La tangente es la posición límite de la recta (AM) (llamada cuerda de la curva), cuando M es un punto de C que se aproxima indefinidamente al punto A (M se desplaza sucesivamente por M₁, M₂, M₃, M₄ ...) imagen:cuerdas.png Si C representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente),entonces la recta (AM) tendrá como coeficiente director (o pendiente) :

\frac

, donde a es la abscisa de A y x la de M. Por lo tanto, la pendiente de la tangente T_A será:

\lim_ \frac

Es, por definición, f '(a), el número derivado de f en a. La ecuación de la tangente es T_a: y = f '(a)·(x - a) + f(a) La recta ortogonal a la tangente T_A que pasa por el punto (a, f(a)) se denomina recta normal y su pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por

\frac

.
Su ecuación es : y = - (x - a)/f '(a) + f(a) suponiendo claro está que f'(a) ≠ 0. Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.

Trigonometría

parábola En trigonometría y matemáticas la tangente es una función definida como: :

\,\tan x = \frac

Es llamada así porque puede ser definida como la longitud de cierto segmento de una tangente (en sentido geométrico) trazada en un círculo de radio unitario. Es más fácil de definir en el contexto de un plano Cartesiano. Si se construye un círculo de radio unitario centrado en el origen, la línea tangente al círculo en el punto P = (1,0), y el rayo proveniente del origen a un ángulo θ con respecto del eje x, entonces el rayo intersecta la recta en un punto Q. La tangente en sentido trigonométrico es la longitud de la línea entre los puntos P y Q. Si el rayo no intersecta la línea, la tangente (función) de θ es infinito.

Derivada

La derivada de la tangente es: :

\,\frac = \frac=\sec^2 x.

Categoría:Trigonometría Categoría:Matemáticas

Integración

Integral: Proceso de cálculo de áreas. Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral. Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio). F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F' = f. Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real. Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

\int_a^b (k \cdot \mbox(x) + l \cdot \mbox(x)) dx = k \cdot \int_a^b \mbox(x) dx + l \cdot \int_a^b \mbox(x) dx

Aquí están las principales primitivas: Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x². 2x es la derivada de x², 3x² es la de x³, por lo tanto 2x - 3x² tiene como primitiva x² - x³ + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x₀) = y₀ (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7. Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

\mbox(b) - \mbox(a) = \int_a^b

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el aréa entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis. imagen:primitiva.png Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x. imagen:integral_alterna.png La relación de Chasles:

\int_a^c = \int_a^b + \int_b^c

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geométricos (con a < b < c )como analíticos, tiene como consecuencia:

\int_a^b = -\int_b^a

\int_a^a = 0

La segunda fórmula se interpreta fácilmente: el área entre las rectas x = a y .. x = a de nuevo es nula, pues la rectas están pegadas. La primera se puede justificar así: cuando se recorre un segmento de la derecha a la izquierda, el área correspondiente cambia de signo. Esto sucede porque la noción de área está muy relacionada con el producto vectorial de dos vectores (y con el determinante), y tal producto cambia de signo si un vector lo hace. Otras propiedades

Las primitivas de una función impar es siempre par.
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par. Imagen:integral_de_función_impar.png La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0.
En efecto, según la figura, la áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:
Imagen:integral_de_función_par.png Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar. La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica Imagen:primitiva_de_una_función_periódica.png Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidiad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).
En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.
Imagen:función_periódica_area_constante.png Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca. Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f.
Entonces tenemos la relación:
Imagen:integral_de_la_recíproca.png El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f^-1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).
Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f^-1 aplicando la simetría axial al rededor de la diagonal y = x.
El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f^-1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la recíproca.

Véase también

- Función matemática
- Matemáticas
- Lista de integrales categoría:Matemáticas ja:不定積分

Derivación

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. (El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.) La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere al gráfico de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.

¿Que hace a una funcion ser Continua?

Resumiendo, para que una función sea continua en un punto debe cumplir:

\lim_f_= \lim_f_=  \lim_f_=f_

Diferenciación

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo

\Delta

para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente :

\Delta y \over \Delta x

cuando

\Delta x

se aproxima a 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x :

dy \over dx

Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales. En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente que la diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta también refiere a cantidades infinitesimales) parte de un cociente de diferencias: :

g(x)=\frac

Luego a la variable h del cociente anterior se la hace tender a 0, por medio de un límite. Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada: :

f'(x)=\lim_ \frac

Notación

Existen diversas formas para nombrar a las derivadas. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f al valor x en varios modos:
-

f'(x) \,

se lee "f primo de x" o "f prima de x",
-

\fracf(x)

se lee "d por d x de f de x" o "d d x de f de x",
-

df \over dx

(Notación de Leibniz) se lee "d f por d x" o "d f d x",
-

D_x f \,

\partial_x f

se lee "d sub x de f", y
-

\dot

se lee "punto x" o "x punto".

Diferenciabilidad

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Si una función no es continua en un punto x, no tiene línea tangente y, por tanto, la función no es diferenciable en ese punto; sin embargo, aunque una función sea continua en x, puede no ser diferenciable allí. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no viceversa. La derivada de una función diferenciable puede ser, asimismo, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama la segunda derivada. De un modo parecido, la derivada de una segunda derivada es la tercera derivada, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de Derivación Sucesiva o de Orden Superior

Cociente de diferencias de Newton

La derivada de una función f es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de f en x. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente conocemos un punto en la línea tangente: el ( x, f(x) ). La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamentes más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el limite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Definimos, pues, la derivada tomando el limite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número pequeño h. h representa un cambio pequeño en x, y puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los puntos ( x, f(x) ) y ( x + h, f(x + h) ) es :

f(x + h) - f(x) \over h

. Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente: :

f'(x) = \lim_

. Si la derivada de f existe en todos los puntos x, se puede definir la derivada de f como la función cuyo valor en cada punto x es la derivada de f en x. Puesto que substituir h por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede ser no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la h del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Notaciones para diferenciación

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe: :f(a) para la primera derivada, :f'(a) para la segunda derivada, :f(a) para la tercera derivada, :f⁽ⁿ⁾(a) para la enésima derivada (n > 3). Para la función derivada de f(x), se escribe f(x). De modo parecido, para la segunda derivada de f se escribe f'(x), y así sucesivamente. La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f(x), se escribe: :

\frac.

Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes: :

\frac\left.\right|_ = \left(\frac\right)(a).

Si y = f(x), se puede escribir la derivada como :

dy \over dx

Las derivadas sucesivas se expresan como :

\frac

\frac

para la enésima derivada de f(x) o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es :

\frac

la cual se puede escribir como :

\left(\frac\right)^3 \left(f(x)\right) =
\frac \left(f(x)\right).

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente: :

\frac = \frac \cdot \frac.

(En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-standard, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.) La notación de Newton para la diferenciación era poner un punto arriba del nombre de la función: :

\dot = \frac = x'(t)

\ddot = x

(t) y así sucesivamente. Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solamente se usa para las primeras y segundas derivadas. ---- Sea f una función continua, y C su curva. Sea x = a la abscisa de un punto regular, es decir donde C no hace un ángulo. En el punto A(a, f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f´(a), el número derivado de f en a. La función a → f´(a) es la derivada de f. imagen:pendiente.png ROOPO en el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f '(a), puede uno saber a que ritmo crece o decrece la función. El signo de f´(a) determina en función f (si crece o no). imagen:derivada.png En este gráfico se ve que donde f es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f´ es positiva, como en el punto D (x = d), mientras que donde f es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f´ es negativa, como en el punto B (x = b). En los puntos A y C, que son máximo y minimo local, la tangente es horizontal, luego f´(a) = 0 = f´(c). Lo bueno de la función derivada es que se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, tenemos la fórmula: $f'(x)= \lim_ \frac$ Por ejemplo, sea f(x) = x². : $f'(x) = \lim_\frac = \lim_\frac$ : $.\qquad = \lim_\frac = \lim_\frac = \lim_(2x + h) = 2x$
Algunas Derivadas Notables

Función F: primitiva de f

función f: derivada de F

x ⁿ+ k

nx n-1, para todo n ≠ 0

e^x + k

ex

ln x + k

1 / x

1 / x n + k

-n / x n+1

sen x

cos x

cos x

- sen x

tan x

sec² x

csc x

-(csc x)(cot x)

sec x

(sec x)(tan x)

cot x

-csc² x

a x, a>0

ln a . a x

√x

1 / 2√x

ax + b

a

Ejemplo
Sea f la función f(x) = 2x³ - 9x² - 24x + 51, definida sobre R. Para conocer sus variaciones miremos su derivada. f´(x) = 6x² - 18x + 24. Para encontrar el signo de f´ (x), tenemos que factorizarla: f´(x) = 6(x² - 3x - 4) = 6(x + 1)(x - 4) ( lo que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado). En la tabla siguiente se establece los signos de los factores (descartando el factor 6, siempre positivo), luego el signo de la derivada, y para terminar las variaciones de la función f. imagen:estudio_función.png
Véase también

- Derivación numérica
- Función matemática
- Matemáticas Categoría:Matemáticas ja:微分 ko:미분 simple:Derivative th:อนุพันธ์

Barrow

El nombre Barrow puede referirse a:
- Isaac Barrow, matemático y teólogo inglés
- El Río Barrow en Irlanda

Isaac Newton

Sir Isaac Newton, (25 de diciembre, 1642 - 20 de marzo, 1727) fue un científico, filósofo y matemático inglés, autor de los Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocidos como los Principia, donde describió la ley de gravedad y, mediante las leyes que llevan su nombre, estableció las bases de la Mecánica Clásica. Fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es a menudo calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y sus trabajos como la culminación de la Revolución científica. Junto a Gottfried Leibniz es considerado el padre del cálculo.

Biografía

Nació el 25 de diciembre de 1642 (correspondiente al 4 de enero de 1643 del nuevo calendario) en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra. Realizó sus primeros estudios universitarios en 1661, en Trinity College de Cambridge. Al comienzo de sus estudios se interesó por la química y este interés, según se dice, se manifestó a lo largo de toda su vida. Durante su primer año de estudios, y probablemente por primera vez, leyó una obra de matemáticas sobre la geometría de Euclides, lo que despertó en él el deseo de leer otras obras. Su primer tutor fue Benjamín Pulleyn, posteriormente profesor de griego en la universidad. En 1663 Newton leyó la Clavis mathematicae de Oughtred, la Geometria de Descartes, de Van Schooten, la Óptica de Kepler, la Opera mathematica de Vieta, editadas por Van Schooten y, en 1644, la Aritmética de Wallis, que le serviría como introducción a sus investigaciones sobre las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas. En 1663 conoció a Isaac Barrow, quien le dio clase como primer profesor Lucasiano de matemáticas. En la misma época entró en contacto con los trabajos de Galileo, Fermat, Huygens y otros a partir, probablemente, de la edición de 1659 de la Geometria de Descartes por Van Schooten.

Primeras contribuciones

Desde finales de 1664 parece dispuesto a contribuir personalmente al desarrollo de las matemáticas. Aborda entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de Wallis, y el cálculo de fluxiones. Después, al acabar sus estudios de bachiller, debe volver a la granja familiar a causa de una epidemia de peste bubónica. Retirado con su familia durante los años 1665-1666, conoce un período muy intenso de descubrimientos: descubre la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación, desarrolla su cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores. Sin embargo, guarda silencio sobre sus descubrimientos y reanuda sus estudios en Cambridge en 1667.

Desarrollo del Cálculo

De 1667 a 1669 emprende activamente investigaciones sobre óptica y es elegido fellow del Trinity College. En 1669, Barrow renuncia a su Cátedra Lucasiana de matemáticas y Newton le sucede, ocupando este puesto hasta 1696. El mismo año envía a John Collins, por medio de Barrow, su "Analysis per aequationes numero terminorum infinitos". Para Newton, este manuscrito representa la introducción a un potente método general, que desarrollará más tarde: su cálculo diferencial e integral. Newton descubrió los principios de su cálculo diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio siguiente, elaboró al menos tres enfoques diferentes de su nuevo análisis. Desde 1684, su amigo Halley le incita a publicar sus trabajos de mecánica y, finalmente, gracias al sostén moral y económico de este último y de la Royal Society, publica en 1687 sus célebres Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, obra que marcó un punto de inflexión en la historia de la ciencia y, además, consiguió que su autor perdiera su temor a la publicación de sus teorías.

Trabajos sobre la luz

En 1672 publicó una obra sobre la luz con una exposición de su filosofía de las ciencias y demostró, haciéndola pasar a través de un prisma, que la luz blanca estaba formada por una banda de colores (rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta). Estos experimentos le llevaron a formular su teoría general sobre la luz que, según él, está formada por corpúsculos y se propaga en línea recta y no por medio de ondas. Este libro fue severamente criticado por la mayor parte de sus contemporáneos, entre ellos Robert Hooke (1638-1703) y Huygens, quienes sostenían ideas diferentes sobre la naturaleza de la luz. Estas críticas provocaron su recelo a las publicaciones por lo que se retiró a la soledad de su estudio en Cambridge.

Ley de gravitación universal

Desde 1673 hasta 1683 enseñó álgebra y teoría de ecuaciones, pero parece que asistían pocos estudiantes a sus cursos. Mientras tanto, Isaac Barrow y el astrónomo Edmund Halley (1656-1742) reconocían sus méritos y le estimulaban en sus trabajos. Hacia 1679 verificó su ley de la gravitación universal, de la cual dedujo la fuerza gravitatoria entre la Tierra y la Luna y demostró que era directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, multiplicando este cociente por una constante G llamada Constante de gravitación universal: :

F = G \frac

Tuvo además la gran intuición de generalizar esta ley a todos los cuerpos del Universo, con lo que esta ecuación se convertía en la ley de gravitación universal. Además estableció la compatibilidad entre su ley y las tres Leyes de Kepler sobre los movimientos planetarios.

Actuación política

En 1687 defendió los derechos de la Universidad de Cambridge contra el impopular Rey Jacobo II y, como resultado tangible de la eficacia que demostró en esa ocasión, fue elegido miembro del Parlamento en 1689, momento en que el rey era destronado y obligado a exiliarse. Mantuvo su escaño durante varios años sin mostrarse, no obstante, muy activo durante los debates. Durante este tiempo prosiguió sus trabajos de química, en los que se reveló muy competente, aunque no publicara grandes descubrimientos sobre el tema. Se dedicó también al estudio de la hidrostática y de la hidrodinámica además de construir telescopios. Después de haber sido profesor durante cerca de treinta años, Newton abandonó su puesto para aceptar la responsabilidad de Director de la Moneda en 1696. Durante los últimos treinta años de su vida, abandonó prácticamente sus investigaciones y se consagró progresivamente a los estudios religiosos. Fue elegido presid