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Demostración Matemática

Demostración matemática

Una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados teóricamente (ya sea por axiomas o por teoremas anteriormente demostrados). El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso. Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comunmente en matemáticas:
- Demostración por contraposición
- Demostración por reducción al absurdo, y como caso particular, descenso infinito
- Inducción matemática Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclidiana.

Véase también

- Demostración falsa Categoría:Matemáticas ja:証明

Axioma

Axioma: Un axioma es simplemente una proposición (o deducción) que es tan evidente que se admite o acepta si necesidad de demostración. Tenemos por ejemplo, algunos axiomas: En Los Elementos de Euclides se establecen nueve axiomas (lo valioso en griego) para la geometría: #Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí # #Si se suma lo mismo a cantidades iguales, los totales son iguales. #Si se quita lo mismo a cantidades iguales, los restos son iguales. #Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales, los totales serán desiguales. #Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí. #Las unidades de una misma cosa son iguales entre sí. #Las cosas que se superponen una a la otra son iguales entre sí. #El todo es mayor que las partes. #Dos rectas no comprenden un espacio. y cinco postulados: #Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto. #Toda recta se puede prolongar indefinidamente. #Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo. #Todos los ángulos rectos son iguales. #Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos. Parece claro que los axiomas se refieren a los principios que se aceptan en el estudio de todas las ciencias, mientras que los postulados se refieren a una ciencia en particular, la geometría en este caso. Por eso el axioma 9 parece que está intercalado y, según Enriques, debe colocarse entre los postulados, complementando al primero en el sentido de que por dos puntos pasa una única recta. Actualmente se llaman sencillamente axiomas a los principios que se aceptan sin demostración al desarrollar una teoría. O mejor aún, los axiomas caracterizan y definen la estructura que estudie la teoría en cuestión. Así, hablamos de los axiomas de grupo, los axiomas de anillo, los axiomas de la geometría proyectiva, de la geometría afín o de la geometría euclídea, etc. Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que cualquier sistema axiomático (con unos axiomas y métodos de deducción bien definidos y establecidos) que sea consistente (sin contradicciones) e incluya a la Aritmética posee serias limitaciones, pues siempre habrá una proposición P que es verdadera pero no es demostrable a partir de tales axiomas con las reglas de deducción establecidas. De hecho Gödel prueba que en cualquier sistema formal que incluya la Aritmética puede formarse una proposición P que esencialmente afirma «Este enunciado no es demostrable». Si se pudiera demostrar P, el sistema tendría contradicción: no sería consistente. Luego P no es demostrable ¡y por tanto P es verdadero! Este teorema de Gödel a menudo ha sido interpretado en un sentido pesimista, como una especie de limitación esencial del conocimiento humano o algo así. Pero ese no es el caso, debe notarse que Gödel demuestra que tal enunciado P es verdadero, así que el resultado de Gödel realmente muestra que ningún sistema axiomático consistente (entendido como máquina de deducir) agota la capacidad de demostración de la razón humana. Por el contrario, su verdadero sentido es que ningún ordenador ni proceso meramente mecánico puede emular el raciocinio humano, que nuestro espíritu no es lo que hoy en día entendemos como máquina. Además de este tema de la Incompletitud, ver también el tema de la Incertidumbre de Heisenberg. Un caso particular de Axioma son las metateoreticales aproximaciones que se introducen en las Ciencias sociales desde el ámbito de la biologia y de la teoría de sistemas. Ejemplos de estas incorporaciones son los conceptos, de Sinergia, Autopoiesis, Homeostasis, Histéresis, Isomorfismo, Meme, Entropía, Holístico, Triple hélice, Juego de la vida, Histéresis y Retroalimentación. Su introducción es entusiasta y parece que prematura, pues no acaban de ser aceptados por la comunidad científica. Se pueden recibir como hipótesis y comprobar si no son demostrables y sacarlas del campo de los axiomas, como sitio no deseable para estos conceptos y para su libre circulación en las Ciencias sociales, en Zetterberg (1965).

Véase también

- Sistema axiomático
- Teorema
- Modelo Categoría:Lógica Categoría:Matemáticas ja:公理 ko:공리

Teorema

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es una actividad central en matemáticas. Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan hipótesis. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja. En matemáticas generales una afirmación debe ser interesante o importante dentro de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las afirmaciones menos importantes se denominan:
- Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más largo. Por supuesto, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria. El Lema de Gauss y el Lema de Zorn, por ejemplo, son considerados demasiado importantes per se para algunos autores, por lo cual consideran que la denominación lema no es adecuada.
- Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B.
- Proposición: un resultado no asociado a ningún teorema en particular. Una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido demostrada se denomina conjetura o hipótesis. Por ejemplo: la conjetura de Goldbach o la hipótesis de Riemann. Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas ( sistema axiomático) y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente. En lógica proposicional, cualquier afirmación demostrada se denomina teorema.

Véase también

- Teorema de incompletitud de Gödel
- Sistema axiomático Categoría:Matemáticas Categoría:Teoremas ja:定理

Matemáticas

Matemáticas (en castellano se usa comúnmente en plural para referirse al estudio y ciencia), del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: amante del conocimiento. Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias». Aunque la matemática sea la supuesta «Reina de las Ciencias», ella misma no se considera una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una útil herramienta para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos estudian sus áreas de preferencia simplemente por razones estéticas, viendo así la matemática como una forma del arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física. La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los «números y símbolos». Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas axiomáticamente utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas. Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofía matemática. No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras que son de naturaleza básicamente diferente.

Categorías

Se dice que la matemática abarca tres ámbitos: #Aritmética. #Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas. #Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo. (Algunos, especialmente los probabilistas, agregan a esta lista el cálculo de probabilidades). Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas. Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas; he aquí una lista de secciones que podemos considerar en su estudio.

Historia

Históricamente, la matemática surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio. El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto. Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

Crisis históricas de las matemáticas

Las matemáticas han pasado por tres crisis históricas importantes: # El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos. # Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales # La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia ::Fuente: El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003

Instrumentos para cálculos matemáticos

Antiguos:
- Ábaco
- Ábaco de Napier
- Regla de cálculo
- Regla y compás
- Cálculo mental Nuevos:
- Calculadoras
- Ordenadores (Lenguajes de programación y software especializado para ciertas áreas de las mátematicas.)

Conceptos errados

Lo que cuenta como conocimiento en matemáticas se determina no mediante experimentación, sino que mediante demostraciones. No son por lo tanto las matemáticas una rama de la física, la ciencia a la que históricamente se encuentra más emparentada, puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación juega un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas. Las matemáticas no son un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución. Matemáticas no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes en para los contadores, los avances en matématica abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros. Matemáticas no significa numerología. La numerología utiliza la aritmética modular para nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intución o en tradiciones.

Enlaces relacionados

- Lista de enunciados matemáticos
- Real Sociedad Matemática Española
- Identidad de Brahmagupta

Enlaces externos

- [http://thesaurus.maths.org/mmkb/view.html?resource=index Conexiones Matemáticas]
- [http://www.rsme.es Real Sociedad Matemática Española]
- [http://www.epsilones.com/index.html Epsilones - Portada]
- [http://www.epsilones.com/paginas/t-historias.html Epsilones - Historias matemáticas]
- [http://descartes.cnice.mecd.es/index.html Portal Descartes] categoría:Matemáticas ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Demostración por reducción al absurdo

La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado en las demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar una proposición matemática probando que el que no lo sea conduce a una contradicción. Un ejemplo es la demostración de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. La afirmación inicial es la contraria: imagínese que es un número racional, es decir, que :

\sqrt = \frac

, donde p y q son números enteros, y que q es distinto de 0. Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que p y q son positivos (si los dos son negativos, basta con multiplicarlos por -1), y que son primos entre sí, es decir, que no comparten ningún factor común (en caso contrario, basta con dividirlos entre su máximo común divisor). Elevando al cuadrado: :

2 = \frac

Multiplicando por q²: :2q² = p² La expresión 2q² es un número par, así que p² también lo es. Eso implica que p es par, porque, de no serlo, p² no sería par, con lo que no se podría cumplir la igualdad. Sea p = 2·n, donde n es un número entero. Así, la expresión queda: :2q² = (2n)² = 4n² Simplificando, se tiene: :q² = 2n² Por el mismo razonamiento de antes, 2n² es un número par, así que q² también es par, y q también es par.
Como p y q son los dos pares, eso quiere decir que tienen al menos un factor común, que es el 2. Esto entra en contradicción con la forma en que se han elegido los números p y q para que no tuvieran ningún factor común. Como esta elección de p y q se hizo sin pérdida de generalidad y el razonamiento posterior es correcto, eso quiere decir que la premisa inicial de que $\sqrt$ era racional es falsa.
Luego $\sqrt$ es irracional, C.Q.D. Categoría:Matemáticas ja:背理法

Inducción matemática

La inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parametro n que toma una infinidad de valores, usualmente en el conjunto de los enteros naturales N. El esquema del razonamiento es el siguiente: Llamemos P_n la proposición al rango n.
- Se demuestra que P₀ es cierta (iniciación de la inducción).
- Se demuestra que si se asume P_n como cierta, entonces P_n+1 lo es también, y esto sin condición sobre el entero natural n. (relación de inducción). En conclusión, se ha demostrado, por inducción, que P_n es cierto para todo natural n. La inducción puede empezar por otro término que P₀, digamos por P_{n_o}. Entonces P_n será válido a partir del rango n_o, es decir, para todo natural n ≥ n_o. Ejemplo: Demostremos que para todo n ≥ 1, 6ⁿ es un número que acaba en 6. :Sea P_n: "6ⁿ acaba en 6". :Obviamente P₁ es cierto porque 6¹ = 6. También lo es P₂ pues 36 acaba en 6. :Supongamos que P_n es cierto para un valor de n, y probemos P_n+1. :Un entero acaba por 6 si se puede escribir así: 10a + 6, con a entero. La hipótesis es, pues, 6ⁿ = 10a + 6. :Entonces 6ⁿ⁺¹ = 6(10a + 6) = 60a + 36 = 60a + 30 + 6 = 10(6a + 3) + 6 = 10c + 6, con c=6a + 3, entero. :Esta última escritura prueba que 6ⁿ⁺¹ acaba por 6, o sea que P_n+1 es cierto. :Luego P_n es cierto para todo n ≥ 1. La inducción es válida por la construcción misma del conjunto de los naturales mediante los axiomas de Peano. De hecho, la inducción imita la construcción del conjunto: 0 es un natural, y, si n lo es, entonces n+1 (sucesor de n) lo es también.
Existen otras inducciones, para otros conjuntos elaborados de forma distinta, como por ejemplo la inducción transfinita, y la inducción sobre las fórmulas de la lógica proposicional. Además de la demostración por inducción, existe la definición o construcción por inducción. Por ejemplo, una sucesión aritmética puede ser definida como función de n: u_n = a + rn, o por inducción:
- u₀ = a
- u_n+1 = u_n + r.

Otro ejemplo

:Se analiza la siguiente proposición ::

\sum_^n (2k - 1) 3^k = (n - 1) 3^ + 3

\forall n \in \mathbb

:Se analiza si es verdadera para n=1 ::

\sum_^1 (2 - 1) 3^1 = 3 \and (1 - 1) 3^2 + 3 = 3

Por lo tanto la proposición es verdadera para n=1 :Hipótesis inductiva ::

\sum_^h (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^ + 3

:Tesis inductiva ::

\sum_^ (2k - 1) 3^k = (h + 1 - 1) 3^ + 3

\sum_^ (2k - 1) 3^k = h 3^ + 3

:Demostración ::

\sum_^h (2k - 1) 3^k + [2(h+1) - 1] 3^ = (h - 1) 3^ + 3 + [2(h+1) - 1] 3^

\sum_^ (2k - 1) 3^k = (h - 1) 3^ + 3 + (2h+2 - 1) 3^

\sum_^ (2k - 1) 3^k = 3^ (h - 1 + 2h + 1) + 3

(sacando factor común) ::

\sum_^ (2k - 1) 3^k = 3^ 3h + 3

\sum_^ (2k - 1) 3^k = h 3^ + 3

Por lo tanto la proposición es verdadera

\forall n \in \mathbb

categoría:Matemáticas ja:数学的帰納法

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana (no confundir con Geometría Euclídea) fue la recopilada por el matemático griego clásico Euclides alrededor de 300 años antes de J.C. La geometría euclidiana es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.

Axiomática

La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se asumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteo cinco postulados en su sistema. # Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une. # Cualquier segmento puede prolongarse de forma continua en cualquier sentido. # Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. # Todos los ángulos rectos son iguales. # Si una recta al cortar a otras dos forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras han intentado en vano deducirlo. Al construirse la geometría hiperbólica se demostró que esto no era posible ya que en este tipo de espacios, se demuestra que el quinto postulado es falso mientras el resto se sostiene. También se notó que el conjunto de axiomas escogido por Euclides es incompleto. Categoría:Geometría

Demostración falsa

En matemáticas, hay múltiples demostraciones matemáticas de contradicciones obvias. A pesar de que las demostraciones son erróneas, los errores son sutiles, y la mayor parte de las veces, intencionados. Estas falacias se consideran normalmente meras curiosidades, pero pueden ser usadas para ilustrar la importancia del rigor en este área. La mayoría de estas demostraciones dependen de variantes del mismo error. El error consisten en usar una función f que no es biyectiva, para observar que f(x) = f(y) para ciertas x e y, concluyendo (erróneamente) que por tanto x = y. La división por cero es un caso particular: la función f es x → x × 0, y el paso erróneo es comenzar con x × 0 = y × 0 y con ello concluir que x = y.

Ejemplos

Demostración de que 1 equivale a −1

Comenzamos con :

-1 = -1\

Ahora, los convertimos en fracciones :

\frac = \frac

Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados obtenemos :

\sqrt = \sqrt

Que equivale a :

\frac = \frac

Pero ya que

i = \sqrt

(ver número imaginario), podemos sustituirlo, obteniendo :

\frac = \frac

Reordenando la ecuación para eliminar las fracciones, obtenemos :

1^2 = i^2\

Y ya que

i^2 = -1

tenemos como resultado :

1 = -1\

Q.E.D. Esta demostración no es válida, ya que aplica mal el siguiente principio de las raíces cuadradas: :

\sqrt = \frac

Este principio sólo es correcto cuando tanto x como y son números positivos. En la "demostración" anterior, una de estas dos variables es un número negativo, lo que invalida toda la demostración.

Demostración de que 1 es menor que 0

Supongamos que :

x < 1

Ahora tomamos el logaritmo en ambos lados de la desigualdad. Podemos hacerlo siempre que x > 0, porque los logaritmos crecen monótonamente. Si tenemos en cuenta que el logaritmo de 1 es 0, obtendremos :

\ln x < 0

Dividir por ln x da como resultado :

1 < 0

Q.E.D. El error se encuentra en el último paso, la división. Este paso es erróneo porque el número por el que estamos dividiendo es negativo, lo que a su vez es porque el argumento del logaritmo es menor que 1, por nuestra suposición original. Una multiplicación o división por un número negativo invierte el símbolo de desigualdad. En otras palabras, deberíamos obtener 1 > 0, lo que es, por cierto, correcto.

Demostración de que 2 equivale a 1

Sean a y b dos cantidades iguales. Se sigue que:

a	=	b
a²	=	ab
a² - b²	=	ab - b²
(a - b)(a + b)	=	b(a - b)
a + b	=	b
b + b	=	b
2b	=	b
2	=	1

Q.E.D. La falacia se encuentra en la línea 5: el paso de la línea 4 a la 5 implica una división por a-b, que es cero ya que a equivale a b (por la suposición). Como la división por cero no está definida, la demostración no es válida.

Demostración de que a equivale a b

Comenzamos con :a - b = c Elevamos al cuadrado ambos lados :a² - 2ab + b² = c² Como (a - b)(c) = c² = ac - bc, podemos reescribirlo como :a² - 2ab + b² = ac - bc Si lo reordenamos, obtenemos :a² - ab - ac = ab - b² - bc Factorizamos ambos miembros :a(a - b - c) = b(a - b - c) Dividimos ambos miembros por (a - b -c) :a~~(a - b - c)~~ = b~~(a - b - c)~~ Al final :a = b Q.E.D. El truco está en que si a - b = c, entonces a - b - c = 0, por lo que hemos realizado una división por cero, lo que invalida la demostración.

Demostración de que 0 equivale a 1

Lo siguiente es una "demostración" de que 0 es igual a 1

0	=	0 + 0 + 0 + ...
	=	(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ...
	=	1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + ...	(ley asociativa)
	=	1 + 0 + 0 + 0 + ...
	=	1

Q.E.D. El error se encuentra en que la ley asociativa no se puede aplicar libremente a sumas infinitas a menos que sean absolutamente convergentes. De hecho, es posible demostrar que en cualquier campo, 0 no es igual a 1.

Demostración de que 0,999...(periodico) equivale a 1

Se tiene 1 de 1 se obtienen 3 partes: 1 1 1 - + - + - = 1 3 3 3 si 1 dividido en 3 es 0,333...(periodico) entonces: 0,333... + 0,333... + 0,333... = 1 siendo tambien 0,333... + 0,333... + 0,333... = 0,999...

Véase también

- Paradoja Categoría:Matemáticas Categoría:Paradojas

Anton Schwarzkopf

Anton Schwarzkopf Jr. (
- 8. Juli 1924 in Behlingen im Landkreis Günzburg; † 30. Juli 2001) war ein deutscher Konstrukteur von Fahrgeschäften und Achterbahnen. Nachdem er Anfang der 50er Jahre die Schwarzkopf GmbH seiner Eltern Anton Sr. und Maria Schwarzkopf übernommen hatte, wuchs diese unter anderem durch die Erfindungen des Unternehmens sehr stark. Anton Schwarzkopf gilt zusammen mit Werner Stengel als der Erfinder des vertikalen Loopings der Neuzeit. Am 30. Juli 2001 verstarb Anton Schwarzkopf, nachdem er sich bereits 1995 aus dem Geschäft zurückgezogen hatte, nach langjähriger Parkinson-Krankheit. Sein Sohn Wieland Schwarzkopf ist heute Eigentümer der Wieland Schwarzkopf GmbH.

Weblinks

- [http://schwarzkopf.coaster.net/unternehmenGF.htm schwarzkopf.coaster.net] Anton Schwarzkopf und sein Unternehmen (Umfassende Webseite zum Thema von Michael Pantenburg) Schwarzkopf, Anton Jr. Schwarzkopf, Anton Jr. Schwarzkopf, Anton Jr. Schwarzkopf, Anton Jr. Schwarzkopf, Anton Jr. ja:アントン・シュワルツコフ

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Bernardo Vittone, född 1705 i Turin, död 19 oktober 1770 i Turin, var en italiensk arkitekt under senbarocken. Vittone, som var elev till Guarino Guarini, betonar i sina sakrala byggn

Demostración matemática

Véase también

Axioma

Véase también

Teorema

Véase también

Matemáticas

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Análisis

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Matemática aplicada

Teoremas y conjeturas famosas

Historia de las matemáticas. El mundo de los matemáticos

Matemáticas recreativas

Historia

Crisis históricas de las matemáticas

Instrumentos para cálculos matemáticos

Conceptos errados

Enlaces relacionados

Enlaces externos

Demostración por reducción al absurdo

Inducción matemática

Otro ejemplo

Geometría euclidiana

Axiomática

Demostración falsa

Ejemplos

Demostración de que 1 equivale a −1

Demostración de que 1 es menor que 0

Demostración de que 2 equivale a 1

Demostración de que a equivale a b

Demostración de que 0 equivale a 1

Demostración de que 0,999...(periodico) equivale a 1

Véase también

Anton Schwarzkopf

Weblinks