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Filosofía De Las Matemáticas

Filosofía de las matemáticas

La filosofía de las matemáticas es una rama de la filosofía que realiza reflexiones acerca de la naturaleza de los números y de las operaciones mentales implicadas en el cálculo. Es una actividad muy antigua, abordada por todo buen filósofo, pues las matemáticas constituyen históricamente la base del pensamiento. La palabra deriva del adjetivo griego mathematikós, formado a partir del nombre "máthema" (ciencia, conocimiento).. Uno de los filósofos modernos que mayor reputación adquirió en el ejercicio de la filosofía de las matemáticas fue Bertrand Russell (1872-1970), autor de Principia Mathematica.

Sección "contemporánea"

Está ocurriendo un acontecimiento en matemáticas, importante para la filosofía. Ver por ejemplo Categorías y fundamentos, la página "[http://www.dcorfield.pwp.blueyonder.co.uk/phorem.htm The Philosophy of Real Mathematics Page]", o las indicaciones del físico matemático [http://math.ucr.edu/home/baez/README.html John Báez]. El "álgebra multidimensional" que está siendo desarrollada, pensada, ("Higher dimensional algebra": Category Theory (teoría de las categorías, n-categorías...) proporciona una manera de organizar una considerable proporción de matemática (...)", etc.
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- Filosofía categoría:Matemáticas categoría:Filosofía

Matemáticas

Matemáticas (en castellano se usa comúnmente en plural para referirse al estudio y ciencia), del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: amante del conocimiento. Es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias». Aunque la matemática sea la supuesta «Reina de las Ciencias», ella misma no se considera una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una útil herramienta para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos estudian sus áreas de preferencia simplemente por razones estéticas, viendo así la matemática como una forma del arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física. La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los «números y símbolos». Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas axiomáticamente utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas. Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofía matemática. No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras que son de naturaleza básicamente diferente.

Categorías

Se dice que la matemática abarca tres ámbitos: #Aritmética. #Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas. #Ánálisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo. (Algunos, especialmente los probabilistas, agregan a esta lista el cálculo de probabilidades). Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas. Las numerosas ramas de la matemática están muy interrelacionadas; he aquí una lista de secciones que podemos considerar en su estudio.

Historia

Históricamente, la matemática surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio. El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto. Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

Crisis históricas de las matemáticas

Las matemáticas han pasado por tres crisis históricas importantes: # El descubrimiento de la inconmensurabilidad por los griegos, la existencia de los números irracionales que de alguna forma debilitó la filosofía de los pitagóricos. # Aparición del cálculo en el siglo XVII, con el temor de que fuera ilegitimo manejar infinitesimales # La tercera fue el hallazgo de las antinomias, como la de Russell o la paradoja de Berry a comienzos del siglo XX, que atacaban los mismos cimientos de la materia ::Fuente: El dedo de Galileo. Peter Atkins. En Espasa Calpe-2003

Instrumentos para cálculos matemáticos

Antiguos:
- Ábaco
- Ábaco de Napier
- Regla de cálculo
- Regla y compás
- Cálculo mental Nuevos:
- Calculadoras
- Ordenadores (Lenguajes de programación y software especializado para ciertas áreas de las mátematicas.)

Conceptos errados

Lo que cuenta como conocimiento en matemáticas se determina no mediante experimentación, sino que mediante demostraciones. No son por lo tanto las matemáticas una rama de la física, la ciencia a la que históricamente se encuentra más emparentada, puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación juega un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas. Las matemáticas no son un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución. Matemáticas no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes en para los contadores, los avances en matématica abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros. Matemáticas no significa numerología. La numerología utiliza la aritmética modular para nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intución o en tradiciones.

Enlaces relacionados

- Lista de enunciados matemáticos
- Real Sociedad Matemática Española
- Identidad de Brahmagupta

Enlaces externos

- [http://thesaurus.maths.org/mmkb/view.html?resource=index Conexiones Matemáticas]
- [http://www.rsme.es Real Sociedad Matemática Española]
- [http://www.epsilones.com/index.html Epsilones - Portada]
- [http://www.epsilones.com/paginas/t-historias.html Epsilones - Historias matemáticas]
- [http://descartes.cnice.mecd.es/index.html Portal Descartes] categoría:Matemáticas ja:数学 ko:수학 ms:Matematik simple:Mathematics th:คณิตศาสตร์ zh-min-nan:Sò·-ha̍k

Filosofía

La filosofía es campo de estudio que se encarga de la investigación, análisis y creación de ideas en general, abstractas o en un nivel fundamental. La palabra "filosofía" procede del griego, estando compuesta de φίλος ("filos", amigo) y σοφία ("sofia", sabiduría): φιλοσοφία (amor a la sabiduría).

Definición de Filosofia

La filosofía no puede entenderse sólo como una reacción espontánea o natural de los hombres. Por naturaleza, el hombre tiene la curiosidad de saber. Esta curiosidad por saber no es por sí misma filosófica, como tampoco lo son las preguntas infantiles, ni lo era la curiosidad que pudiera experimentar un Australopithecus cuando salía de la cueva. Los orígenes de la filosofía occidental se remontan a la Grecia clásica. Etimológicamente, la palabra filosofía, acuñada por los griegos, significa amor a la sabiduría. De acuerdo con Nicola Abbagnano, la palabra filosofía aparece como nombre de una indagación : Según Cicerón, quien usó por primera vez la palabra filosofía fue Pitágoras. Él comparaba la vida con los festejos de Olimpia en los que algunos eran negociantes, otros sólo iban para concursar, otros por divertirse y otros por curiosidad. A estos últimos los llamó filósofos. Otra fuente del origen de la palabra filósofo indica que Heráclito, al referirse a los indagadores, los llamaba filósofos. : Como indagación, fue el primer significado de filosofía, que hacía parte de un saber encaminado a un aprender a ser más allá de las apariencias. Por su parte, Platón le daba la denominación de filosofía al conjunto de disciplinas tales como la Geometría, la música, y otras que se encaminaban a su función propedéutica. La filosofía se contraponía a la sofía —muy propia de las deidades—, y también a la dóxa, vale decir, a la mera opinión del vulgo.

Filosofía como actitud. Conceptos prácticos

La intervención genial de Sócrates en la historia del pensamiento occidental consiste en comprender lo que estaba sucediendo y seguidamente definir sus consecuencias. Con él comenzó el período conocido como la ilustración helénica. De acuerdo con la descripción que Platón nos ofrece de Sócrates, Sócrates defendió que la felicidad depende de la virtud, y que a su vez la virtud depende del conocimiento. Sólo el que sabe qué es la justicia puede verdaderamente ser justo y obrar justamente.

Filosofía como actividad nuestra

Lo que otros pensaron lo materializaron en fórmulas que pesan sobre nosotros. Así, la palabra filosofía aquí no significa para nosotros el intelectualismo socrático o cualquier otra concepción filosófica, sino el nombre de una tarea nuestra, propia de cada uno. La filosofía en este sentido significa pensar en nuestra vida y pensar en la vida. A su vez, algunas teorías filosóficas nos servirán para comprender la vida, y tratar de buscar alguna explicación a los problemas cotidianos que la vida siempre nos impone. Nos explica el movimiento, las causas y consecuencias. Nos sirve como guía ante situaciones difíciles.

Filosofía como conocimiento

La cultura griega, al igual que todas las culturas y su entorno, contaba con una gran abundancia de narraciones míticas mediante las cuales explicaba el origen de los fenómenos naturales y también de las instituciones humanas. La tarea del filósofo griego consiste en buscar una explicación racional frente la explicación mítica.

Características de la explicación racional

#No recurre a divinidades o agente sobrenaturales, sino que interpreta las puertas y fenómenos naturales. #La idea de la naturaleza única, la idea de necesidad, y está a su vez la idea de ley. #Una explicación racional se considerará verdadera, no por la fuerza de la tradición y autoridad, sino por la fuerza de los argumentos en que se base. #Cualquier explicación racional puede ser sometida a críticas siempre que sea aduciendo argumentos y pruebas.

Filosofía como historia de la filosofía

Desde su aparición en Grecia hasta nuestros días, la filosofía se ha ocupado sustancialmente de las mismas cuestiones. Puede decirse que se trata de cuestiones permanentes de la filosofía, ya que se refieren a formas permanentes de la experiencia humana. Que sean permanentes no significa que estos cuestiones sean intemporales, ajenas al tiempo y a la historia. Su planteamiento y respuestas adquieren formas distintas a lo largo la historia. Todo esto pone de manifiesto que la reflexión filosófica debe atender a la situación histórica efectiva en que nos encontramos. En Historia de la Filosofía se puede encontrar la historia de la filosofía de forma muy detallada.

Filosofando

Existen, básicamente, dos modos de "hacer filosofía". Uno recibe el nombre de Filosofía continental y al otro se le ha denominado Filosofía analítica. Ni siquiera existe acuerdo completo en este punto, pues algunos filósofos de una y otra corriente negarán que exista otro modo de hacer filosofía que no sea el suyo y afirmarán que "lo otro" no es filosofía. En cualquier caso, la división es pertinente y clarificadora. La Filosofía continental es una forma de hacer filosofía que atiende a la historia de la Filosofía y dialoga con la tradición. Por ejemplo, los filósofos continentales estudian a Aristóteles, Kant, Hegel o Nietzsche y, partiendo de esa tradición (o conjunto de tradiciones), hacen reflexiones, proponiendo visiones del mundo o del pensamiento. La Filosofía continental se hace sobre todo en países como Alemania o Francia, aunque en los Estados Unidos existe una fuerte tendencia en esta tradición. Los temas comunes de la Filosofía continental son la epistemología, la Historia de la Filosofía, la Ética y la Estética, por citar algunos. La Filosofía analítica nace con Gottlob Frege a finales del Siglo XIX. Dicha corriente tiene la mayoría de sus seguidores en Gran Bretaña, los Estados Unidos y Australia, aunque hoy en día existen importantes grupos de filósofos analíticos en España, Francia, Italia y otros países. La Filosofía analítica, tradicionalmente, se ha ocupado de temas como la Filosofía de las matemáticas, la Filosofía de la Ciencia o Epistemología, la Filosofía de la mente, la Lógica, la Filosofía del lenguaje y, en algunos casos, Ética. Una característica sobresaliente es que los filósofos de esta corriente aceptan unas reglas del juego comunes para todos. Un ejemplo ayudará a comprender esto. En la Filosofía del lenguaje, dentro de la corriente analítica, hoy en día todos aceptan que la Teoría de la referencia directa es la teoría dominante a la hora de explicar el problema del significado. Los filósofos que atacan esta teoría dominante lo hacen argumentando fallos en dicha teoría, como por ejemplo, el problema de los nombres vacíos (empty names). Los filósofos analíticos no sólo aceptan unos métodos comunes, sino que publican en las mismas revistas (por ej. Mind, Ethics, etc.). En definitiva, la Filosofía analítica tiene mucho que ver con los métodos científicos.

Filosofía de la naturaleza

El Universo, la Tierra y Dios

En toda la primera etapa de la filosofía antigua, hasta antes de los sofistas, el problema central de que se ocupan los filósofos es la naturaleza; por eso, Aristóteles habría de llamarlos los físicos, los investigadores de la naturaleza. Lo que distingue a estos primeros filósofos de otros intentos anteriores por explicar el origen del cosmos fue que su explicación la fundan sobre un principio natural, y no sobre un principio mágicamente revelado, mítico o religioso, como se había hecho hasta entonces. Con ellos nace la convicción de que es posible conocer la realidad por medio de la razón (convicción que se mantiene hasta nuestros días). Pero para Aristóteles, el universo era único, esférico, perfecto, finito en el espacio, pero no en el tiempo, cada una de sus regiones tiene sus propias leyes. Esto es uno de los argumentos en que la filosofía de la naturaleza del renacimiento desmiente enfrentándose a la Iglesia por que ellos creían que el universo era infinito y autosuficiente en donde la tierra no ocupa posición privilegiada alguna. Además ellos defendían la posición del Sol como el centro del universo (heliocentrismo) y no a la tierra en el centro de este como suponía el Aristotelismo medieval (geocentrismo). Uno de los que defendían esta posición era Giordanno Bruno. Él era el primer panteísta y creía que Dios era todo el universo y no una personalidad. Pensador neoplatónico y radicalmente antiaristotélico, concibe un universo infinito, uno e inmóvil, que anticipa la concepción de la sustancia única. Considera Dios como causa interna de los fenómenos de la naturaleza y mantiene una visión heliocéntrica del universo. Afirma la existencia de múltiples sistemas solares que surgen y desaparecen en ese universo que se desarrolla como un “organismo vivo”, animado por el alma del mundo. Otro filósofo de la naturaleza es Spinoza. Para Spinoza la base de todo su pensamiento lógico es la causa sui, es decir, una realidad que es origen de sí misma y a la vez de todas las cosas, que tiene por ello una existencia independiente. Esta "sustancia" es, por tanto, equivalente a Dios, es decir, aquello que existe por sí mismo y creador de toda realidad que es, a la vez, Él mismo. Dios y el mundo, esto es, su creación, son idénticos, dando lugar a un panteísmo. Él también concibe un universo infinito e inmóvil en donde Dios es la causa de todo. Spinoza afirma la existencia de una sola sustancia, aquello que no necesita otra cosa para existir. Esta definición solo correspondería a una sustancia infinita, Spinoza llama a esto Dios o la naturaleza (Deus sive natura). Galileo y Kepler también participaron en este dilema del universo y de la tierra como centro del universo, aportando en gran medida con sus teorías y experimentos sobre las lunas de Júpiter, el movimiento de los planetas, las fases de Venus y el telescopio, a la filosofía de la naturaleza, ya que ellos afirmaban el heliocentrismo que creían estos filósofos.

El Alma Cósmica del mundo

Para la filosofía de la naturaleza esta expresión es muy importante. Se ha usado la expresión 'alma del mundo' para designar la totalidad del universo concebido como organismo, o «la forma» de este universo. La idea de un alma del mundo surgió tempranamente en la filosofía griega., la suposición de que todo está entrelazado llevó a algunos a admitir un alma en el mundo. La explicación platónica del origen del alma del mundo se debió a la observación de la naturaleza y no de algo mítico. Según algunos autores, el cuerpo del mundo está envuelto por su alma; pero, a la vez, el alma del universo se halla en cada una de las cosas de éste, no parcial y fragmentariamente, sino de un modo total y completo. Los debates habidos en las escuelas filosóficas antiguas, debates que, bajo distinta forma, se reproducen en todos aquellos momentos de la historia del pensamiento en que lo orgánico «desplaza» a lo mecánico, se centraron particularmente en los estoicos y los neoplatónicos. Unos concebían, en efecto, esta alma del mundo de un modo muy cercano a lo material; el corporalismo de los estoicos no podía dejar de influir sobre su idea del alma cósmica. En efecto, si el mundo es un ser viviente, racional, animado e inteligente «en el sentido de una sustancia animada dotada de sensación» esta tendría una muerte. Otros, en cambio, identificaban esta alma del mundo con la razón o bien hacían de ella, como los neoplatónicos, una de las hipóstasis de la unidad suprema. El alma del mundo quedaba entonces desligada de esta unidad; aunque estrictamente subordinada a ella, no podía tampoco confundirse con la unidad primera. El alma del mundo quedaba entonces desligada de esta unidad; aunque estrictamente subordinada a ella, no podía tampoco confundirse con la unidad primera. La confusión del alma del universo con el primer principio es, en cambio, propia de las tendencias que podrían calificarse de «panteísmo organológico». Desde el momento en que se niega, consciente o inconscientemente, la trascendencia del primer principio, aparece el alma del mundo como lo que religa la totalidad del universo, como lo que expresa esta misma totalidad, o como la propia totalidad en cuanto única realidad existente. Aquí vemos una distinción fundamental entre dos nociones del alma cósmica: la que la convierte en mera expresión de un organismo que es el universo entero, a la vez subordinado a un primer principio, y la que la identifica con este mismo principio, es decir, la que convierte en Dios el alma del mundo. Distinción que casi nunca se hace, cuando menos explícitamente, en los sistemas de la filosofía, donde justamente suele abundar la transposición de uno de dichos conceptos al otro. Así ocurre, por ejemplo, con la especulación sobre el alma del mundo en los pensadores del Renacimiento (Agrippa, Paracelso, algunos místicos, sobre todo Bruno) y en románticos como Schelling, Bruno tiene conciencia de esta oposición y en ocasiones la declara, pero con el fin de eludir el panteísmo funde a veces las dos nociones en un solo concepto del alma del mundo, que es a la vez la divinidad y el principio orgánico del universo. Análogamente, Schelling, que procura eludir las acusaciones de panteísmo señalando que entiende a Dios a la vez como persona y como indiferencia de opuestos, indica que el alma del mundo es lo que religa en una unidad orgánica elementos del universo que, vistos desde fuera y fragmentariamente, pertenecen al reino de lo mecánico e inorgánico, pero señala también que es última expresión y aun realidad última de dicho universo. El alma del mundo se convierte entonces en un concepto que tiende a unificar el personalismo y el impersonalismo en la idea de lo divino, que procura tender un puente entre el teísmo religioso y el panteísmo filosófico, y por eso el alma del mundo puede ser simultáneamente, no obstante la frecuente distinción que se establece entre ella y la persona divina, principio, sentido y finalidad de un universo que es concebido siempre como un organismo.

Panteísmo

Con todo esto del Alma Cósmica o alma del mundo, los filósofos de la naturaleza se acercaron más y más a una perspectiva panteísta del mundo y creían en la naturaleza como al mismo Dios. Veamos la definición. El panteísmo es una doctrina que identifica el universo (en griego pan, todo) con Dios (griego, theos). La reflexión debe partir de un conocimiento de la realidad divina y después especular sobre la relación entre lo no divino y lo divino. A este punto de vista suele denominarse panteísmo acósmico. A la inversa, cuando la reflexión empieza desde una percepción de toda realidad finita, de las entidades cambiantes, y da el nombre de Dios a su totalidad se denomina panteísmo cósmico.

La Naturaleza

Acerca de la naturaleza, estos filósofos sostuvieron la idea de que ésta estaba animada y que poseía una especie de alma cósmica, de modo que todos los seres, tanto vivos como los inanimados, son entendidos como una manifestación de este organismo. Nos acercamos así a una perspectiva panteísta, es decir, a una concepción donde Dios se identifica con la totalidad, con la naturaleza, no siendo nada distinto a ella como pudimos aprender en la página anterior. Bruno y Paracelso son algunos filósofos de la naturaleza que plantean este problema. Ellos en conjunto de otros filósofos como Voltaire, Spinoza, Jacobi, Hegel, Kepler, Galileo, Telesio, etc. Mantendrán varias ideas acerca de la naturaleza y su posición.

Ley Natural

En la ley natural, estos filósofos demostraron por medio de la observación los movimientos de la naturaleza. Ellos veían que la naturaleza se movía por sí sola; por ejemplo las lluvias, los terremotos, el giro de los planetas, los cambios de los mares, los seres en acto y en potencia; y concluyeron que debía existir una Ley Natural realizada por la misma naturaleza. En este pensamiento, ellos pensaron que la naturaleza tenía vida propia y llegaron a pensar en un alma cósmica que todo lo mueve. En el ejemplo del sistema planetario, vemos cómo todos los movimientos que acontecerán en el futuro están predeterminados de un modo inevitable, no sólo los eclipses de Luna y de Sol pueden ser preestablecidos matemáticamente, sino que también pueden serlo los menores detalles en el transcurso de los movimientos de los planetas, los satélites o los planetoides. Sin embargo este ejemplo, si lo consideramos como modelo de una idea de toda la naturaleza expresado científicamente, nos permite suponer que —por lo menos, dentro de una lógica clara— es imaginable que la naturaleza exista ella sola por sí misma, pudiendo realizar el proceso normal y lógico de todos sus fenómenos dentro de una predeterminación continuada, sin tener necesidad de ningún gobierno divino del mundo. Viendo matemáticamente la función de la tierra y el cielo, estos filósofos de la naturaleza en la época de los grandes matemáticos franceses demostraron definitivamente que el sistema planetario puede servir como modelo para esta radical concepción de una naturaleza que se basta a sí misma: una naturaleza cerrada, de un modo ininterrumpido y originario, en ella misma. La construcción de su sistema parte del dogma de la creación operada por un ser eterno e infinito, tanto en sapiencia como en bondad y en poder; siendo así, la creación debe tener un fin y estar regida por una ley, a la que llama ley suprema del orden, que tiene cuatro manifestaciones: la ley lógica, la física, la moral y la jurídica. Entonces para la filosofía de la naturaleza, este dogma es de suma importancia para sus ideas y lo utiliza para apaciguar a la Iglesia que en esa época no permitía ciertas ideas como el geocentrismo. La ley natural es el pilar de este movimiento y la base de todas sus explicaciones referentes al alma de la naturaleza y la autosuficiencia de ella. De ese modo la ley natural sería una ley previa al hombre mismo, universal e inmutable por semejanza a las leyes físicas o químicas cuya validez universal se puede verificar científicamente, del mismo modo la ley natural es accesible mediante la razón.

Naturalismo

Con el tiempo se creó el naturalismo que viene siendo la doctrina filosófica que sólo reconoce la existencia de la realidad natural, defendiendo, en consecuencia, un monismo metafísico. En función de la interpretación que se tenga de la naturaleza, el naturalismo puede plasmarse en un materialismo mecanicista (como en Demócrito de Abdera) o en un panteísmo vitalista (al estilo de los estoicos). El naturalismo volverá a desarrollarse con fuerza en el Renacimiento (Bruno, Campanella, Telesio) y en la época moderna (mecanicistas y empiristas), siendo numerosos los sistemas bajo los que se presenta.

Filosofía Moderna

En la época actual, se crea un énfasis en el concepto del ser hombre y el que hacer como este. Debido a los consecuentes avances tecnológicos, los cuales muestran un nuevo dominio sobre la naturaleza, se llevó el cuestionamiento antropológico a un ámbito mayormente racional. La filosofía moderna busca basarse en el razonamiento.

La Filosofía de la Naturaleza hoy

La filosofía de la naturaleza hoy en día ha evolucionado a lo que hoy llamamos filosofía de la ciencia. Esta filosofía ya no se pregunta cuestiones como: ¿Habrá alma en el mundo? No, ahora la filosofía de la ciencia solo investiga las causas racionales de la naturaleza. Pero veamos una definición más exacta de esta. La filosofía de la ciencia es la investigación sobre la naturaleza de la práctica científica. Se ocupa de saber cómo se desarrollan, evalúan y cambian las teorías científicas, y de si la ciencia es capaz de revelar la verdad de las entidades ocultas y los procesos de la naturaleza. Son filosóficas las dos proposiciones básicas que nos permiten construir la ciencia:
- La naturaleza es regular, uniforme e inteligible.
- El hombre es capaz de comprender la inteligibilidad de la naturaleza. Estos dos presupuestos metafísicos no son cuestionados en la actualidad. Lo que intenta la filosofía de la ciencia es explicar cosas como:
- la naturaleza y la obtención de las teorías y conceptos científicos;
- la relación de éstos con la realidad;
- cómo la ciencia explica, predice y controla la naturaleza;
- los medios para determinar la validez de la información;
- la formulación y uso del método científico;
- los tipos de razonamiento utilizados para llegar a conclusiones;
- las implicaciones de los diferentes métodos y modelos de ciencia. Gran parte de la filosofía de la ciencia es indisociable de la epistemología, la teoría del conocimiento, un tema que ha sido considerado por casi todos los filósofos. Algunos científicos han mostrado un vivo interés por la filosofía de la ciencia y unos pocos, como Galileo Galilei, Isaac Newton y Albert Einstein, han hecho importantes contribuciones. Numerosos científicos, sin embargo, se han dado por satisfechos dejando la filosofía de la ciencia a los filósofos, y han preferido seguir haciendo ciencia en vez de dedicar más tiempo a considerar cómo se hace la ciencia. Dentro de la tradición occidental, entre las figuras más importantes anteriores al siglo XX destacan Aristóteles, René Descartes, John Locke, David Hume, Immanuel Kant y John Stuart Mill. La filosofía de la ciencia no se denominó así hasta la formación del Círculo de Viena, a principios del siglo XX. En la misma época, la ciencia vivió una gran transformación a raíz de la teoría de la relatividad y de la mecánica cuántica. En la filosofía de la ciencia actual las grandes figuras son sin lugar a dudas Karl Popper, Thomas Kuhn, Imre Lakatos y Paul Feyerabend.

Véase también

- Filosofía social

Enlaces externos

- [http://www-personal.monash.edu.au/~dey/phil/ Philosophy in Cyberspace]
- [http://plato.stanford.edu/ Stanford Encyclopedia of Philosophy]
- [http://www.boulesis.com/ Boulesis]
- [http://www.filosofia.org Proyecto Filosofía en español]
- [http://www.filosofia.tk Filosofía y Tecnología en Internet]
- [http://www.rafaelrobles.com/tic.htm Filotic: Filosofía y TIC] Categoría:Filosofía ja:哲学 ko:철학 ms:Falsafah simple:Philosophy th:ปรัชญา

Bertrand Russell

Bertrand Arthur William Russell (18 de mayo, 1872 - 2 de febrero, 1970), Tercer Conde de Russell, Orden del Mérito OM, Fellow de la Royal Society FRS, Premio Nobel de Literatura 1950, MMB IBI. Bertrand Russell fue uno de los más distinguidos filósofos y matemáticos del siglo XX. Escribió sobre una amplia gama de temas, desde los fundamentos de las matemáticas y la teoría de la relatividad al matrimonio, los derechos de las mujeres y el pacifismo. La vida de Russell fue apasionada, intensa y larga y se fraguó un nombre tanto en los círculos de especialistas como entre las multitudes que o lo seguían con fervor o lo odiaban con intensidad. En matemáticas su gran contribución es la indudablemente importante Principia Mathematica con Alfred North Whitehead, libro en tres volumenes en donde a partir de ciertas nociones básicas de la lógica y la teoría de conjuntos se deduce la totalidad de las matemáticas. Mostrando así el poder de los lenguajes formales, la posibilidad de modelar las matemáticas y la fertilidad de la lógica. Un libro profundamente influyente e importante que contribuyó al desarrollo de la lógica, la teoría de conjuntos, la inteligencia artificial y la computación así como la formación de pensadores de la talla de David Hilbert, Ludwig Wittgenstein, Alan Turing, Willard Van Orman Quine y Kurt Gödel. En filosofía contribuyó prácticamente en todas las áreas, desde la misma metodología abogando siempre por el análisis y alertando a los filósofos de las trampas del lenguaje, sentando así el método y las motivaciones de la Filosofía Analítica. Sus contribuciones de contenido incluyen su innegable artículo maestro Sobre el Denotar y una serie de libros y artículos en problemas desde la filosofía de las matemáticas, la metafísica, la epistemología, la inferencia científica y la ética a una serie de enfoques interesantes y fértiles al problema mente-cuerpo, enfoques discutidos hoy en día por variedad de filósofos importantes como David Chalmers, Michael Lockwood, Thomas Nagel, Grover Maxwell, etc. Russell fue un conocido pacifista durante la primera guerra mundial, aunque se manifestó a favor de tomar acciones bélicas durante la segunda guerra mundial, alegando que un mundo en donde el Fascismo fuera la ideología reinante, sería un mundo en donde lo mejor de la civilización habría muerto y no valdría la pena vivir. Estuvo en prisión dos veces, la primera conectada con sus actividades pacifistas durante la gran guerra y la segunda por participar en una demostración en contra de la proliferación de las armas nucleares. Contrajo matrimonio cuatro veces. La última vez, con Edith Finch, pudo alcanzar la paz y entendimiento que siempre buscó. Tuvo tres hijos, John, Kate y Conrad. Conrad se convirtió en un importante político del Partido Liberal Demócrata en Inglaterra y en un historiador erudito, murió recientemente quinto conde de Russell. Russell fue también además de activista y pensador de primera línea un soberbio polemicista que se convirtió en el ícono del racionalismo para toda una generación. Polemizó sobre el control natal, los derechos de las mujeres, la inmoralidad de las armas nucleares, y sobre las deficiencias en los argumentos y razones esgrimidos a favor de la existencia de Dios. Siempre en sus escritos hizo gala no sólo de un magnífico estilo literario sino también de un excelente sentido del humor y una habilidad para sorprender y provocar con la ironía, el sarcasmo y la metáfora. Sin duda alguna Lord Russell fue uno de los pensadores más interesantes, profundos, mordaces y activos del siglo XX y dejo un enorme legado de escritos de los cuales podemos extraer importantes lecciones. En 1962, a los 90 años, medió en el conflicto de los misiles de Cuba para evitar que se desatara un ataque militar, escribiendo cartas tanto a Kruschev como a Kennedy y siendo intermediario en sus respuestas mutuas. Organizó con Albert Einstein el Movimiento Pugwash, ante la amenaza de una guerra nuclear y pasó los últimos quince años de su vida haciendo campaña en contra de la fabricación de armas nucleares. En esto seguía el consejo que había dado a un entrevistador, diciendole que el deber del filósofo en esos tiempos era evitar a toda costa un nuevo holocausto, la destrucción de la humanidad. Murió pacíficamente a los 98 años, habiendo encontrado con Edith Finch, la paz y el amor que siempre buscó. Alejandro Tomasini Bassols, investigador del Instituto de Investigaciones Filosóficas de la UNAM nos dice de él: el filósofo en cuestión es el hombre con el que, de hecho, se inicia el desarrollo moderno de la lógica, esto es, de la ciencia tradicionalmente vista como el prototipo de lo a priori y considerada por muchos (como por ejemplo Kant) como acabada en la forma que hace 2000 años le dio Aristóteles, un pensador que revolucionó la metafísica y la teoría del conocimiento, un conocedor profundo de la ciencia de su tiempo y él mismo un matemático, un moralista importante y un gran humanista ... De ahí que ocuparse de su pensamiento constituya una experiencia filosófica de valor incalculable. ---- Biografía
- Bertrand Russell: Hasta la Gran Guerra Posiblemente el filósofo más influyente del siglo XX, al menos en los países de habla inglesa, considerado junto con Gottlob Frege como uno de los fundadores de la Filosofìa Analítica. Es también considerado uno de los dos lógicos más importantes del siglo XX, siendo el otro Kurt Gödel. Russell fue heredero de una distinguida tradición de liberalismo, nieto de Lord John Russell, primer Conde de Russell, quien sirvió dos términos como Primer Ministro a la Reina Victoria y ahijado de John Stuart Mill, quien, aunque jamás conoció a Russell ejerció una profunda influencia en su pensamiento político a través de sus escritos. Russell quedó huérfano a la edad de 6 años luego de que primero murieran su hermana y su madre de difteria y seguidamente su padre, Amberley, quién no pudo recuperarse de la perdida de su esposa e hija y finalmente se dejó morir en 1878. Russell y su hermano Frank se mudaron a Pembroke Lodge, una residencia oficialmente de la corona pero en dónde por favor Real vivían su abuelo Lord John y su abuela Lady Russell, quien sería la responsable de educarlo. La infancia de Russell transcurrió en Pembroke Lodge de una manera solitaría, solía pasar mucho tiempo en la biblioteca de su abuelo en donde precozmente demostró un gran amor por la literatura y la historia. Los jardines de Pembroke Lodge eran el lugar predilecto del pequeño Russell muchos de los momentos más felices de su infancia los pasó allí, meditando en soledad. El hermano de Russell Frank mostró siempre una abierta rebeldía al ambiente tímido y conservador de Pembroke Lodge, mientras que Russell, si bien jamás se sintió del todo contento en la casa de sus abuelos se rebelaba de una manera más intelectual, escondiendo sus pensamientos de todos y llevando una existencia solitaria, preguntándose si algún día sería capaz de expresarse francamente con otro ser humano. A la edad de once años Russell comenzó el estudio de la geometría euclideana, todo el asunto pareciéndole tan maravilloso como el primer amor. El poder demostrar una proposición le produjo a Russell una inmensa satisfacción, que sin embargo se vio frustrada cuando su hermano de le dijo que tendría que aceptar ciertos axiomas sin cuestionarlos, o de otra forma no podrían seguir. Al percatarse de su facilidad para aprender geometría Russell consideró por primera vez que quizá poseía alguna inteligencia. Desde ese momento hasta la terminación de Principia Mathematica las matemáticas serían su principal fuente de felicidad. Russell leyó y meditó mucho durante su adolescencia, en ausencia de otros jóvenes con quienes pudiera compartir sus intereses, con algunas notables excepciones como Fitzgerald. Durante este periodo Russell leyó vorazmente, en italiano a Dante y Maquiavelo, leyó a Comte, quien no lo impresionó, leyó de su padrino Mill la Economía Política y la Lógica de los cuales hizo amplios apuntes. Russell leyó también al celebre historiador Edward Gibbon y los Viajes de Gulliver de Jonathan Swift que dejarían un recuerdo indeleble en su mente, cuando desde entonces en adelante contemplara a los hombres y sus necedades como los Yahoos, aquellos animales bestiales en los cuentos de Swift. Leyó también mucha poesía, por supuesto John Milton y William Shakespeare entre otros, pero su poeta favorito era Percy Bysshe Shelley, cuyo poema Alastor; o El Espíritu de la Soledad había impresionado profundamente a Russell y el cuál, pese a ser bastante extenso, se sabía de memoria. También en esta época Russell escribió en sus cuadernos los que después serían conocidos como "Ejercicios de Griego", una serie de notas, escritas en inglés pero utilizando el alfabeto griego, en donde Russell debatía varias problemáticas filosóficas que habían venido atormentándolo, especialmente el problema del libre-albedrío contra el determinismo. Siendo Russell en esta época un joven profundamente religioso y además con un excelente entrenamiento en matemáticas y física, estaba consciente del problema que surgía cuando consideramos que todos los cuerpos físicos del universo se comportan de acuerdo a ciertas regularidades, cosa que en física nos permite predecir su comportamiento. De este hecho se deduce que ya que los cuerpos humanos son otros objetos físicos más en el universo, entonces estos y sus comportamientos también están determinados y podrían ser deducidos por una ser o máquina con poderes de razonamiento superior. Pero si esto es así, pensaba Russell, entonces el hombre no tiene libre albedrío. Estas conclusiones le parecían alarmantes al darse cuenta que chocaban con algunas de sus convicciones religiosas. Gradualmente Russell abandonó la creencia en Dios a medida que su intelecto filosófico se tornó más y más racionalista. Lo sorprendente de estos ejercicios sin embargo, es su sofisticación para haber sido escritos por un adolescente, sin prácticamente previo contacto con la filosofía fuera de Mill. Russell terminó por ingresar al Trinity College de Cambridge para estudiar matemáticas. Su examinador fue Alfred North Whitehead, con quien después colaboraría en Principia Mathematica. Whitehead quedó tan impresionado por el joven Russell que lo recomendó a la sociedad de discusión intelectual de Cambridge, Los Apóstoles, un grupo de jóvenes brillantes que se reunian para discutir cualquier tema, sin tabues en un ambiente intelectualmente estimulante y honesto. Otros distinguidos miembros de esta sociedad fueron John Maynard Keynes, y John McTaggart Ellis McTaggart tan sólo por mencionar unos cuantos. Fue así como Russell finalmente después de muchos años de soledad pudo expresar sus opiniones e ideas a una serie de jóvenes inteligentes y quienes no lo veían con sospecha. Russell continuó sus estudios en matemáticas en Cambridge, aunque algo decepcionado por la manera en que en esos tiempos se enseñaba esta ciencia. Esto se debe principalmente a que las matemáticas, en esa época, se enseñaban mediante la constante resolución de ejercicios mecánicamente, sin ir muy a fondo en la parte puramente formal de la disciplina. En este sentido Cambridge se encontraba un poco atrasada respecto, por ejemplo, a las universidades alemanas en donde distinguidos matemáticos como Weierstrass, Richard Dedekind y Georg Cantor habían estado trabajando para introducir mucho más rigor en las matemáticas tratando de entender y delimitar ciertos conceptos como: infinitesimal o infinito. El hecho de tener que aprender su amada ciencia como una serie de trucos decepcionó profundamente a Russell quien buscó estimulación intelectual en la filosofía. Por esta época leyó a Platón, a Baruch Spinoza, a David Hume y a F.H. Bradley por mencionar algunos. Russell concluyó sus estudios en matemáticas obteniendo un examen meritorio que lo colocó como séptimo "wrangler", una marca distintiva que era reconocida en el marco académico donde se movía. Durante su cuarto año en Cambridge Russell estudió ciencias morales, que era el nombre por el cual se conocía a la filosofía. Para entonces Russell ya se había hecho amigo de George Edward Moore, un joven estudiante de clásicos a quien Russell había persuadido de cambiarse a filosofía. También Russell para entonces había caído bajo la influencia filosófica de McTaggart, uno de los prometedores filósofos idealistas del momento. Es en este contexto en donde la famosa revuelta contra el idealismo de Russell y Moore tuvo lugar. En el aspecto personal Russell para ese entonces había conocido y se había enamorado de la hermosa Alys Pearsall Smith, mujer que, a pesar de ser varios años mayor que él lo había cautivado profundamente, tanto por su belleza victoriana como por sus convicciones, ideas y formas de ver el mundo. Alys era una joven profundamente culta e interesada en participar activamente a favor de varias causas. Russell desde un principio trató de impresionarla y resolvió persuadirla primero que el matrimonio era algo deseable, segundo que el matrimonio entre dos personas inteligentes y dedicadas a causas justas era aun más deseable y como conclusion de ese argumento, que ya que ambos eran ese tipo de personas debian casarse. Y sorprendentemente, el acercamiento filosófico de Russell al romance habría de tener éxito. Russell comenzó su asalto discutiendo con ella estos asuntos, aunque por supuesto acompañados por un chaperón. Y permanecería insistente mediante cartas. Para cuando Russell se graduó con honores de matemáticas Alys y él ya tenían un tono más amistoso en sus escritos y ella lo felicitó efusivamente diciendole que posiblemente tenía que ser ese el día más feliz de su vida. Russell recuerda haber pensado que por el contrario, sólo estar con Alys podría haberlo hecho feliz. Finalmente la relación de Russell y Alys dio un giro más íntimo y pronto estaban comprometidos, pese a la oposición de la familia de Russell y a pesar de haber pasado un año separados, puesto que Russell había aceptado un pasantía en Paris. Después de la boda Russell y Alys viajaron a Alemania donde Russell estudiaría economía y ambos entablarían contacto con algunos de los socialistas del momento. La estancia de Russell en Alemania sirvió dos propósitos, primero le dio suficiente conocimiento del país, de su economía y sus disputas políticas para escribir un libro La Socialdemocracia Alemana, y segundo le permitió conocer los trabajos de sus matemáticos. Sin duda alguna Alemania era el país que, en esa época, poseía los más distinguidos matemáticos del mundo, muchos de ellos trabajando para dar más rigor a su ciencia. Karl Weierstrass, Richard Dedekind y Georg Cantor eran tres de los más eminentes y Russell los estudió concienzudamente durante su estancia en Alemania. Es admirable en este caso que haya podido escribir un libro dedicado a cuestiones políticas y económicas, en donde hacía varias predicciones que darían en el blanco y además esgrimia una serie de potentes argumentos contra la teoría económica de Marx (como su crítica a la teoría de la plus-valía) y mientras hacía todo esto su corazón y su mente estaban realmente en las matemáticas. Eso muestra el calibre del pensamiento de Russell. La filosofía en voga en Inglaterra era entonces el idealismo, filosofía de cuál Russell era un practicante, habiendo sido previamente convencido por McTaggart del poder intelectual del idealismo Russell se convirtió en un pupilo de Hegel y Kant, escogiendo siempre a Hegel cuando surgia alguna disputa entre los dos. Las ideas de Hegel fueron transmitidas a Russell a través de su estudio de pensadores como T.H. Green y F.H. Bradley, el trabajo de Bradley era especialmente sofisticado, y en textos como Appearance and Reality Bradley ofrecía una serie de argumentos que pretendían establecer la irrealidad de muchas cosas que aceptamos de buena gana como las relaciones, y al mostrar la irrealidad de las relaciones se seguía la irrealidad de cualquier cosa constituida por relaciones: espacio, tiempo, la pluralidad de objetos y se seguía también que ultimadamente existía una sóla cosa: el Absoluto. Pero si esto era así entonces al interior de las matemáticas tenían que surgir una serie de contradicciones, mismas que no podían ser resueltas en las propias matemáticas y que tenían que ver con temas fundamentales como: la continuidad, el infinito, los infinitesimales, la validez de la inducción matemática, etc. Russell nunca estuvo satisfecho con esto, pero debido a su adherencia al idealismo (de manifiesto en su excelente ensayo para obtener su Fellowship Ensayo Sobre los Fundamentos de la Geometría) no podía ver camino para resolver esas dificultades. Un camino le fue revelado, sin embargo, en su estudio de los matemáticos alemanes. Cantor con su teoría de conjuntos pretendía resolver el problema del infinito y Dedekind con su uso de los límites y "cortes" el de los infinitesimales. No pasaría mucho tiempo para que Russell junto con Moore comenzaran su revuelta contra el idealismo. A su regreso a Inglaterra Russell y Moore se reunirían ocasionalmente para discutir estos temas, y de estas discusiones emergió un texto importante Sobre la Naturaleza del Juicio en donde Moore finalmente rompía con el idealismo, y proponía en su lugar un realismo a ultranza que se comprometía con la existencia de entidades abstractas como los conceptos y las proposiciones. Russell después manifestó que esta ruptura con el idealismo le permitió creer por un tiempo en la existencia de una multiplicidad de cosas y eso constituyó para él una gran liberación. Con el idealismo a un lado Russell comenzó a concebir un plan para seguir con el movmiento de dar más rigor a las matemáticas. Empezó así su investigación sobre los fundamentos de las mismas, investigación que, pese a producir una serie de trabajos importantes e interesantes, no llegó a culminar en ningún lado, esto es, hasta el Congreso de Filosofía de París en 1900. ---- Libros por Bertrand Russell:
- "La Socialdemocracia Alemana" (1896)
- "Un Ensayo Sobre los Fundamentos de la Geometría" (1897)
- "Exposición Crítica de la Filosofía de Leibniz" (1900)
- "Los Principios de Las Matemáticas" (1903)
- Principia Mathematica (1910, 1912, 1913)
- "Ensayos Filosóficos" (1910)
- "Problemas de la Filosofía" (1911)
- "Nuestro Conocimiento del Mundo Exterior" (1914)
- "Principios de Reconstrucción Social"
- (1916)
- "Ideales Políticos" (1917)
- "Los Caminos de la Libertad" (1918)
- "Misticismo y Lógica" (1918)
- "La Filosofía del Atomismo Lógico" (1918)
- "Introducción a la Filosofía Matemática" (1918)
- "Teoría y Práctica del Bolchevismo" (1920)
- "Análisis de la Mente" (1921)
- "El Problema de China" (1922)
- "El ABC de los Átomos" (1923)
- "Ícaro o el Futuro de la Ciencia" (1924)
- "Como ser Libre y Feliz" (1924)
- "Lo que yo creo" (1925)
- "El ABC de la Relatividad" (1925)
- "Sobre la Educación, Especialmente en la Infancia Temprana" (1926)
- "Análisis de la Materia" (1927)
- "Fundamentos de Filosofía" (1927)
- "Por Qué No Soy Cristiano" (1927)
- "Ensayos Escépticos" (1928)
- "Matrimonio y Moral" (1929)
- "La Conquista de la Felicidad" (1930)
- "La Perspectiva Científica" (1931)
- "Educación y el Orden Social" (1932)
- "Libertad y Organización 1814 - 1914" (1934)
- "Elogio de la Ociosidad" (1935)
- "Religión y Ciencia" (1935)
- "¿Qué Camino Hacía la Paz?" (1936)
- "Los Documentos Amberley" (1937)
- "Poder: Un Nuevo Análisis Social" (1938)
- "Investigación sobre el Significado y la Verdad" (1940)
- "Cómo Convertirse en Filósofo" (1942)
- "Cómo Leer y Entender la Historia" (1943)
- "El Valor del Libre Pensamiento" (1944)
- "Historia de la Filosofía Occidental" (1945)
- "El Conocimiento Humano. Su Alcance y sus Límites" (1948)
- "Autoridad e Invididuo" (1949)
- "Ensayos Impopulares" (1950)
- "El Impacto de la Ciencia en la Sociedad" (1951)
- "Nuevas Esperanzas para un Mundo Cambiante" (1951)
- "Satán en los Suburbios" (1953)
- "Pesadillas de Personas Eminentes" (1954)
- "Sociedad Humana, Ética y Política" (1954)
- "Retratos de Memoria y Otros Ensayos" (1956)
- "Lógica y Conocimiento" (1956)
- "Sentido Común y Guerra Nuclear" (1959)
- "La Evolución de mi Pensamiento Filosófico" (1959)
- "Los Escritos Básicos de Bertrand Russell" (1961)
- "Hecho y Ficción" (1961)
- "¿Tiene el Hombre un Futuro?" (1961)
- "Victoria Pacífica" (1963)
- "Crimenes de Guerra en Vietnam" (1967)
- "Autobiografía" (1967) ---- Bibliografía Secundaria:
- Garciadiego Dantan, Alejandro R., "Bertrand Russell y el origen de las paradojas de la teoría de conjuntos". Mathesis (4) 1, 113-130, feb, 1988.
- Grattan-Guiness, Ivor. "The Search For Mathematical Roots 1870 - 1940". Princeton University Press. USA. 2000.
- Griffin, Nicholas. "The Cambridge Companion to Bertrand Russell". Cambridge University Press. USA. 2003.
- Hurtado, Guillermo. "Proposiciones Russellianas". Instituto de Investigaciones Filosóficas UNAM. México. 1998.
- Rodriguez, Consuegra Francisco. "La Interpretación russelliana de Leibniz y el atomismo metodológico de Moore". Diánoia, 36 (36): 121-156, 1990.
- Rodriguez, Consuegra Francisco. "El logicismo russelliano: su significado filosófico". Crítica, 23 (67). 15-34, abr; 1991.
- Tomasini, Alejandro. "Los Atomismos Lógicos de Russell y Wittgenstein". Instituto de Investigaciones Filosóficas UNAM. México. 1994.
- Tomasini, Alejandro. "Una Introducción al Pensamiento de Bertrand Russell". Universidad Autónoma de Zacatecas. México. 1992. ---- Fuentes Disponibles en Internet
- On Denoting (Sobre el Denotar) [http://cscs.umich.edu/~crshalizi/Russell/denoting/]
- The Elements of Ethics (Los Elementos de la Ética) [http://fair-use.org/bertrand-russell/the-elements-of-ethics/section-i]
- The Principles of Mathematics (Los Principios de las Matemáticas) [http://fair-use.org/bertrand-russell/the-principles-of-mathematics/preface]
- Varios Artículos En Inglés, Incluyendo "On Vagueness" [http://cscs.umich.edu/~crshalizi/Russell/]
- The Problems of Philosophy (Los Problemas de la Filosofía)[http://www.ditext.com/russell/russell.html]
- Proposed Roads to Freedom (Los Caminos de la Libertad)[http://www.zpub.com/notes/rfree10.html]
- The Analysis of Mind (El Análisis de la Mente)http://russell.thefreelibrary.com/The-Analysis-of-Mind
- The Bertrand Russell Research Centre (Centro de Estudios de Bertrand Russell)[http://www.humanities.mcmaster.ca/~russell/]
- The Bertrand Russell Archives (Los Archivos de Bertrand Russell)[http://www.mcmaster.ca/russdocs/russell.htm]
- Stanford Encyclopedia of Philosophy SEP, Bertrand Russell[http://plato.stanford.edu/entries/russell/]
- SEP Russell's Paradox (Paradoja de Russell) [http://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/]
- SEP Principia Mathematica [http://plato.stanford.edu/entries/principia-mathematica/]
- SEP Russell's Logical Atomism (El Atomismo Lógico de Russell[http://plato.stanford.edu/entries/logical-atomism/]
- Reseñas de Libros de y sobre Russell por Moisés Macías[http://www.amazon.com/gp/cdp/member-reviews/ALDG1FRLJ3HNT/103-2343679-1466254?_encoding=UTF8]
- Biografía y Paradoja de Russell [http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/17-1-b-RUSSELL.html]

Véase también

- Alfred North Whitehead
- David Hilbert
- George Edward Moore
- Gottlob Frege
- Filosofía Analítica
- Filosofía de las Matemáticas
- Filosofía de la Mente
- Kurt Gödel
- Lógica
- Logicismo
- Ludwig Wittgenstein
- Paradoja de Russell
- Positivismo Lógico
- Principia Mathematica
- Teoría de Conjuntos
- Teoría de las Descripciones Definidas Russell, Bertrand Russell, Bertrand Russell, Bertrand Russell, Bertrand Russell, Bertrand ja:バートランド・ラッセル ko:버트런드 러셀 th:เบอร์แทรนด์ รัสเซิลล์

1970

Siglo: Tabla anual siglo XX (Siglo XIX - Siglo XX - Siglo XXI) Década: Años 1940 - Años 1950 - Años 1960 - Años 1970 - Años 1980 - Años 1990 - Años 2000 Años: 1965 1966 1967 1968 1969 - 1970 - 1971 1972 1973 1974 1975 ---- Año Internacional de la Educación de las Naciones Unidas

Acontecimientos

- 23 de febrero - El gobernador general británico proclama en Georgetown el nacimiento de la República de Guyana,con sir Edward Luckhoo como presidente.
- 8 de marzo - Atentado frustrado contra el arzobispo Makarios,presidente de Chipre.
- 21 de marzo- El tema "All Kinds of Everything" de Dana da la victoria a Irlanda en la XV Edición de Eurovisión celebrada en Amsterdam.
- 6 de abril - Asesinato en Guatemala del embajador alemán von Spreti.
- 31 de mayo - Un sismo asola la zona norte de Ancash y provoca aluviones en Yungay y Huaraz. Cerca de 66,800 personas entre muertos y desaparecidos. Ver Terremoto de Ancash de 1970
- 14 de mayo - En Alemania se establece la Rote Armee Fraktion (Fracción del Ejército Rojo).
- 8 de junio - Golpe de estado en Argentina del que resulta derrocado el general Onganía. El poder lo asumen provisionalmente el teniente general Lanusse, el brigadier Rey y el almirante Gnavi.
- 13 de junio - El general Roberto Levingston, nuevo presidente de Argentina.
- 10 de octubre - Fiji obtiene la independencia.
- 22 de diciembre - El Gobierno peruano concede una amnistía total para los presos políticos.
Nacimientos

- 13 de enero - Marco Pantani, ciclista italiano.
- 27 de marzo - Mariah Carey, cantante de pop.
- 28 de abril - Diego Simeone, futbolista argentino.
- 26 de mayo - Nobuhiro Watsuki, mangaka japonés.
- 14 de octubre - María Lucía Fernández, periodista.
- 12 de diciembre - Jennifer Connelly, actriz estadounidense.
- 12 de diciembre - Wilson Kipketer, atleta danés, de origen keniata.
- 30 de diciembre - Jesús Tovar, nace el conocido informático.
Fallecimientos

- 2 de febrero - Muere en Plas-Penrhyn,Gales, el filósofo y matemático Bertrand Russell.
- 9 de febrero - Fallece el escritor Roger Martin du Gard.
- 17 de febrero - Muere en Israel el escritor hebreo,premio Nobel,Joseph Agnon.
- 21 de junio - Achmed Sukarno, político indonesio.
- 27 de junio - Novelista Pierre McOrlan.
- 15 de julio - Cantante español Luis Mariano
- 1 de agosto - Otto Heinrich Warburg, fisiólogo alemán, premio Nobel de Medicina en 1931.
- 3 de septiembre - François Mauriac,escritor.
- 18 de septiembre - Jimi Hendrix, músico de rock estadounidense.
- 25 de septiembre - Erich María Remarque,escritor.
- 28 de septiembre - John Dos Passos, novelista y artista plástico estadounidense.
- 4 de octubre - Janis Joplin, cantante estadounidense.
- 28 de octubre - Gamal Abdel Nasser, presidente de Egipto.
- 4 de noviembre - Pedro II, ex-rey de Yugoslavia.
- 5 de noviembre - Agustín Lara, compositor mexicano.
- 9 de noviembre - Charles de Gaulle, político y militar francés.
- 21 de noviembre - Chandrasekhara Venkata Raman, físico indio, premio Nobel de Física en 1930.
- 25 de noviembre - Yukio Mishima, escritor japonés.
- 30 de noviembre - Nina Ricci, creadora de moda.
- 17 de diciembre - Oscar Lewis, escritor norteamericano.
Arte y literatura

- 6 de enero - Jesús Fernández Santos obtiene el premio Nadal por su novela Libro de las memorias de las cosas.
Ciencia y tecnología

- 22 de enero - Primer vuelo comercial del Boeing-747"Jumbo", con capacidad para 300 personas.
- 24 de febrero - Se anuncia en Londres que Silvia Allen será la primera mujer del mundo que tenga un hijo concebido en el tubo de ensayo de un laboratorio.
- 11 de abril - Lanzamiento del Apolo XIII, con Lowell,Haise y Swigert a bordo.
- 1 de junio - La URSS pone en órbita el Soyuz 9 tripulado por los cosmonautas Nikolaiev y Sebastianov.
- 4 de julio - Francia hace explotar una bomba nuclear en el atolón de Mururoa.
- 18 de agosto - Lanzamiento por la Unión Soviética de la nueva estación interplanetaria "Venus 7".
Deporte

- 3 de abril - El púgil español Urtain, se proclama campeón de Europa de los pesos pesados al derrotar por K.O., en Madrid al alemán Weiland.
- 3 de mayo - España se proclama campeón mundial de hockey sobre patines al derrotar a Argentina por 6-2.
- 10 de mayo - El Gran Premio de Monaco de Automovilismo es ganado`por el austriaco Jochem Rindt.
- 12 de mayo - Luis Ocaña gana la Vuelta Ciclista a España.
- 21 de junio - México: Campeonato mundial de Fútbol: Brasil de Pelé gana su tercera Copa Mundial de Fútbol al ganar en la final a Italia por 4-1.
- 19 de julio - Eddy Merckx gana el Tour de France
- Jochen Rindt se consagra campeón del mundo de Fórmula 1.
Cine

Música

- Black Sabbath - Black Sabbath
- Genesis - Trespass
- The Beatles - Let It Be
- John Lennon - Plastic Ono Band
- The Doors - Morrison Hotel, Absolutely Live (en vivo)
- Rolling Stones - Get yer ya-ya's Out (en vivo)
- Led Zeppelin - Led Zeppelin III
- Jimi Hendrix - Band of Gypsys (directo)
- Pink Floyd - Zabriskie Point (banda sonora, julio), Atom Heart Mother (octubre)
- David Bowie - The Man Who Sold The World
- Carole King - Tapestry
- Simon & Garfunkel - Bridge Over Trouble Water
- Sly & The Family Stone - Greatets Hits
- Van Morrison - Moondance
- Neil Young - After The Gold Rush
- Miles Davis - Bitches Brew
- James Taylor - Sweet Baby James
- The Velvet Underground - Loaded
- Santana - Abraxas
- Crosby, Stills, Nash & Young - Dejá Vu
- George Harrison - All Things Must Pass
- Who - Live At Leeds
- The Carpenters - Close to You
- The Stooges - Fun House
- Cat Stevens - Tea for the Tillerman
- Nick Drake - Bryter Layter
- Grateful Dead - American Beauty, Workingman's Dead
- Creedence Clearwater Revival - Cosmo's Factory
- Randy Newman - 12 songs
- King Crimson - In the Wake of Poseidon, Lizard
- Yes - Time and a Word
- Beach Boys - Sunflower
- Robert Johnson - King of the Delta Blues Singers Vol. 2
- Paul McCartney - McCartney
- MC5 - Back in the USA
- Elton John - Elton John
Premios Nobel

- Física – Hannes Olof Gösta Alfvén y Louis Eugène Félix Néel.
- Química – Luis Federico Leloir.
- Medicina – Sir Bernard Katz, Ulf von Euler y Julius Axelrod.
- Literatura – Alexandr Isáievich Solzhenitsin.
- Paz – Norman E. Borlaug.
- Economía – Paul Samuelson. Categoría:Siglo XX als:1970 ja:1970年 ko:1970년 ms:1970 simple:1970 th:พ.ศ. 2513

Categorías y fundamentos

El surgimiento de la teoría de las categorías es un importante acontecimiento no sólo para la matemática, la física... sino para las ciencias en general y la filosofía. En los años 40 del siglo XX, dos matemáticos, Samuel Eilenberg & Saunders MacLane, inventaron el concepto de categoría y gran parte del resto de la genial "maquinaria" que le sigue. Todo se resume --al principio es sencillo-- en: "haz que todo sea una "flecha", una relación" (---->). Si se quiere una rápida (wiki quiere decir rápido/a) mirada sobre el concepto de categoría ver los espacios donde ponemos la definición y un ejemplo, reconocibles por que están marcados con puntos y con barras separadoras. Este artículo es un primer intento a la hora de presentar el lado "conceptual" de este tema de fundamentos de la matemática. Apenas se va a conseguir aquí tal meta, pero espero que podamos irlo consiguiendo (ver enlaces del final para ello). Vivimos cierta "revolución silenciosa" en el pensamiento y que queremos intentar plasmar en este "artículo/llamada-de-atención". La teoría de las categorías es uno de los lugares donde se está jugando esta especie de revolución. Por ello requiere de cierta filosofía (todos hacemos cierta filosofía cuando decimos que no la tenemos en cuenta).

Objetividad y Real ahistórico:

A veces la fría "contemplación" matemática no sirve para la presentación adecuada de "lo que está pasando". Para mantener el espíritu "objetivo" que requiere esta enciclopedia se ha de insistir desde el principio en que esta teoría puede convivir y convive con todo lo demás, y que afirmaciones como la del físico John Báez, que "todo encaja en el bello marco de esta teoría", son debidas a que estamos tratando con un tema muy delicado: los fundamentos de la matemática. Tema que es polémico en sí y que requiere en cierto modo de "no ser objetivos". Las intuiciones requieren decisiones, las decisiones se basan en anteriores intuiciones, en anteriores decisiones, pero no por completo. Existe cierto Real ahistórico que provoca transformaciones, no todo es "historia".

La teoría de las categorías objetiva muchos fenómenos.

La teoría de las categorías está sirviendo precisamente para "objetivar" cosas nunca antes "objetivadas" tan claramente. Es entonces comprensible por qué esta lenta aproximación: la teoría de las categorías en cierto modo sirve para cambiar el sentido de lo que se pide tradicionalmente en un artículo enciclopédico, esto es, objetividad. Insistamos en esto: los fundamentos de la matemática atañen al estatuto de lo objetivo, a las concepciones usuales, a conceptos básicos no especializados, por lo tanto no pueden ser presentados como otra teoría más. Esta sería la presentación más objetiva de un tema que estamos diciendo que "re-objetiva". El esfuerzo en "pensar profundo lo básico" que conllevan los fundamentos debe ser ejemplificado e ilustrado de alguna manera, y con lo que se expone aquí se espera ir contribuyendo a hacer más fácil su práctica.

La matemática es pensamiento.

La matemática, pese a que es usada demasiado a menudo en educación para convencernos de que no es algo que nos concierna, de que es simplemente igual a "cálculo", y para convencernos de que en general nos tenemos que aburrir demasiado, es, sin embargo, "pensamiento". Los matemáticos crean conceptos "de la nada", de esa nada tan Real que persiguen todas las ciencias y que la filosofía tematiza tan diestramente con palabras como por ejemplo la de "Acontecimiento".

¿Una nueva era? Las categorías hacen más fácil el pensamiento.

Los matemáticos no saben bien hablar de lo que hacen --se dice que es condición de su práctica el no saber hacerlo--, lo que mejor se les da entonces sería el "hacerlo". Ahora, con las categorías, se está configurando de otra manera cierto "mapa" de las matemáticas. La teoría de las categorías apunta hacia una posibilidad, la de cierta mayor conceptualización, explicación, en definitiva, capacidad de hablar. Creo que es así de importante, e importante para todos, comunidad matemática "especializada" inclusive. Existen matemáticos (Lawvere...) que no sólo trabajan en matemáticas y fundamentos de la matemática, también lo hacen en fundamentos de la física y que incluso escriben sobre filosofía.

Estamos demasiado acostumbrados a vernos como el ombligo del mundo: se nos hace difícil comprender que el mundo no se acaba con nosotros y que por ello no debemos sólo preocuparnos por la "salud" de nuestro profesional y muy especializado "paso por el mundo". Resulta que existe "la inteligencia", en general, existe la verdad (local y localizada). Galileo ¿era físico? ¿era matemático?... No; Galileo pensaba. ¿Se enseña ahora a pensar? No necesariamente. Se intenta, -en los territorios todo a lo largo del mundo rico- que se aprenda, que se domine quizás un cierto corpus matemático, que está volcado hacia la parte técnica tradicionalmente no conceptual de la matemática, y que gira excesivamente en torno a un empobrecido y pobre concepto de número. Las alternativas verdaderamente fascinantes que aporta la conceptualización pretendidamente "avanzada" son fácilmente introducibles y "traducibles", no son tan complejas, son fundamentales (por eso se trata de fundamentos de la matemática, región de las matemáticas que tampoco para de desarrollarse).

Ahora bien, a poco que pensemos, las fronteras, las percepciones en cuanto a la separación entre matemáticas, física y filosofía nunca van a dejar de cambiar y seguramente con el objetivo de conseguir cierta unificación (y aquí es donde puede estar desempeñando el papel la teoría de las categorías). ¿Por qué no deben dejar de cambiar? Porque... ¿qué hace un matemático? Piensa, también; pero, ¿con qué? Pues primeramente y para pisar tierra firme creo que debemos decir, sin miedo: piensa con el "cuerpo físico" llamado cerebro/cuerpo.

Así que la matemática es cierto acto humano que "actualiza aquello que existe en potencia" básicamente en nuestra realidad cerebral física, que, aunque moldeada como queráis por lo social es básica y fundamentalmente "física". Y ¿Por qué sólo "cerebral"? Intentemos una pequeña "demostración", proporcionada quizá por un sentido común no tan común ahora. Pues es básicamente sólo cerebral simplemente porque la realidad exterior, la que tematiza la física, es matematizable(!), y la matemática la hacemos con el cerebro(cuerpo) que previamente ha vivido un proceso de socialización mediante esa comunicación, habla, uso de papel y lápiz, ordenadores, etc.

También: ¿qué hace un físico? Pues piensa. Y piensa "matematizando", conceptualizando matemáticamente, ¡con el cerebro!, que es "de donde salen" también las matemáticas (con el matiz aquel de la socialización). Aunque pensemos y a veces creemos una supuesta "realidad exterior" la estaremos pensando con cierta realidad física interna: el cerebro.

Ahora bien, ¿qué hace un filósofo? Piensa. ¿Qué? Pues mucha gente cree que los filósofos piensan en todo y en nada. Aunque no es exactamente así. Los filósofos se intentan servir de gran parte de la "cultura" que les rodea --digamos que amplifican --virtualmente con libros o bien en la realidad con vivencias variadas o se someten a las condiciones de aquellos procesos socializantes, etc-- para pensar las relaciones entre el saber y la verdad, pensamiento y mundo, lo real y lo dicho sobre lo real, etc. Esto es, lo Real. El acontecimiento. Nos sorprendermos creando nuevas relaciones entre saber y verdad, permitiendo nuevos discursos y nuevas "realidades". Nuestro cerebro, como realidad física, comparte con las demás realidades físicas esta "capacidad", por ello existe la filosofía. Nuestro cerebro no está fuera del universo, y es gracias a ello por lo que existen las llamadas revoluciones teóricas, etc.

Es ya entonces obvio que aquello de pensar nunca fue lo que "realmente" quiere que hagamos nuestro sistema de enseñanza (decídselo a Einstein por ejemplo, es ya un tópico), y nunca será lo que quieren nuestros gobernantes o nuestros vigilantes, nunca mientras dinero y poder sigan tan unidos. Pensar siempre se hace en bastante medida "a contracorriente de lo que hay", aunque esto esté más o menos difuminado por una, la nuestra, realidad educativo-cultural-institucional.

Por todo esto y porque la teoría de las categorías unifica y puede ayudar a objetivizar y organizar el pensamiento --más en general de lo que podemos creer si sólo conocemos aspectos formales-- son importantes los fundamentos de las matemáticas y en concreto esta teoría basada en el eterno y simple concepto de relación: atañen al estatus de "lo objetivo" cerebral-social-técnico.

Ahora sigamos con nuestra época y las matemáticas, dejemos el eternamente sorprendente y moderno "Real".

Matemáticos y su trabajo. Revoluciones "objetivistas": son "anti-enciclopédicas".

El trabajo de un matemático se puede desarrollar -creemos que se debería desarrollar siempre- en principio y para mayor "progreso" y mejor "educación", en dos ámbitos interrelacionados:

1.- Fundamentos de la matemática (conjuntos, lógica, y ahora categorías, etc...).

2.- Dentro de una o varias "especialidades matemáticas". La teoría de las categorías, a la vez que una especialidad matemática enorme, es la continuación, conceptualmente rica, de la "revolución" en fundamentos que se produjo con los "conjuntos", las "estructuras", (Cantor, Dedekind...). Los conjuntos son y han sido muy útiles para esa labor fundamental: nombrar "conceptos básicos" que antes nadie nombraba pero que todos, en cierto modo, ya usábamos. Pero con los conjuntos podemos decir que se tenía cierta "fundamentación" desde abajo. Con las categorías se hace, de entrada y también, "desde arriba". Objetivizamos las relaciones, las estructuramos a nivel muy básico.

Conjuntos y número: ¡busca, pregúntate por dónde hay "flechas" en la definición básica de Conjuntos! (es un buen ejercicio quizás y se puede, pero sería más fácil si estuviera más divulgada la teoría de las categorías).

Para explicar un poco más sobre categorías nos vamos a servir de los conjuntos.

Si os dáis cuenta un conjunto, es, de entrada, "un" conjunto, (remarca la palabra "un" en tu cabeza), esto es, cierto "uno". Un conjunto es hacer uno con algo, en algo, de algo. Pero... ¿y ese algo? ¿Qué tienen los conjuntos en su interior, qué variación acogen? Pues bien, más "unos": se dice que constan de "elementos", "puntos". Hacemos conjuntos de objetos, de personas, de lo que sea (¡casi!), esto es, hacemos más y más "unos".

Así que como véis los conjuntos dependen en cierto modo del "número", que ¡no lo es todo en matemáticas!

Que el número no debiera ser "todo" lo que se dicta en las matemáticas básicas, se nos ha hecho, si cabe, más patente con la teoría de las categorías. De una manera más fundamental hemos comprobado que no sólo existe el "hacer uno". También existe el "hacer relación" y que el centrarse en ello nos permite ese cierto "mapeo" del que hablamos arriba. Una advertencia: este hacer flecha, relacionar, parece una tontería, claro, pero cuidado, estamos en matemáticas, por lo que debe existir cierta "estructura" básica (que va a estar omnipresente): al igual que hablábamos de "conjuntos" como cierta forma de estructurar, de hablar, de dar vida al hecho de "hacer uno", una categoría es en cierto modo lo equivalente, es la "estructura" que buscamos para nuestro "hacer relación", hacer uno de algo que no sea sólo un miserable punto, que sea al menos ¡una --miserable-- flecha!

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Concepto de Categoría.

Una categoría es la estructura donde más natural y básicamente se "encuadra" la capacidad de hacer relaciones. Y es un concepto bastante simple, aunque, por la falta de costumbre no lo es tanto como el de conjunto. Una categoría tiene que tener, como tenían los conjuntos, objetos, ciertos "elementos" que vamos a llamar

objetos: .

Pero lo importante en una categoría son las:

flechas: . Existen flechas entre los objetos.

Y cada flecha,

f : A ---> B

tiene asignado un objeto (di por ejemplo "A") de "origen" (dominio) y otro objeto (di por ejemplo "B") de llegada (codominio). Esto casi es lo mismo que tenemos en la definición de "función", "aplicación". Si no os han contado alguna vez las funciones mirad más abajo en el ejemplo de categoría que vamos a poner. Las reglas que cumplen las flechas en cada categoría son, básicamente:

COMPONIBILIDAD: si tengo una flecha "f" de A hacia B y otra flecha "g" de B a C, entonces ¡tengo una de A a C!: llamada " (g · f) " (ojo: ¡NO se escribe (f · g) ! ¡ "el orden" es en cierto modo al revés que como se escribe !)

¡ASOCIATIVIDAD! Os lo imaginaréis ya quizá: si tengo 3 flechas
"f" : A -----> B,
"g" : B -----> C
"h" : C -----> D,
será lo mismo "ir" de A a D pasando por la compuesta de g con h, (h · g), (que va de B a D) con lo que hacemos este "camino":
(h · g) · f
, que "ir" de A a D pasando por la compuesta de f con g:(g ·f), que va de B a C, haciendo este otro:
h · (g · f).
Esto es: (h · g) · f = h · (g · f)

IDENTIDADES. Todo objeto "A" tiene que tener una flecha y sólo una que salga y entre en él:
A -----> A

---- Todo esto tiene que "conectar" bien. Pero más o menos hemos terminado de definir qué es una categoría. (Habría que poner un ejemplo, abajo lo intentamos con la categoría "conjuntos finitos").

Ahora sigamos esta introducción saltando a otra cosa.

Lógica y categorías. I: "prelógica".

Las categorías pueden ser vistas como los universos donde se hacen las matemáticas. Es por decirlo así una "pre-lógica" básica que se cumple en cada universo de "ser", en cada universo matemático (la matemática "dice" el ser en la "filosofía" que estamos manejando; para nosotros todo matemático maneja una "filosofía", por ejemplo cuando dicen ser simplemente "objetivos" (cierta "filosofía silenciosa, silenciada", podríamos decir)). Intentamos aquí por tanto iniciar la presentación de la utilidad de la "filosofía" que manejamos y queremos que no sea necesariamente la misma, ya que por lo que hemos visto hasta ahora, es común quizá el que los matemáticos no se preocupen demasiado de cómo comunicar sus hallazgos: no es fácil "pensar" ese a su vez pensamiento desplegado en su práctica, la matemática (su práctica es ya pensamiento y las matemáticas no necesitan pensar tal pensamiento). Es la tarea de todos/as entonces el remediar en la medida en que podamos esta situación y aquí sólo hacemos un intento.

Los universos matemáticos donde se muestra, se presenta, el aparecer matemático, tienen esos objetos y esas flechas, que llamamos en general "morfismos". Pero las categorías matemáticas a su vez se relacionan entre sí, los universos matemáticos se "conectan", ayudándonos así a estudiarlos (con lo que al final terminamos estudiando a veces más sus relaciones que cada universo en sí). Por ejemplo, este es el caso de la parte de las matemáticas que se llama "topología algebraica" (y que fue en lo que trabajaban los inventores de las categorías cuando se les ocurrieron las generalizaciones que llevan a todo esto). Esta disciplina es, primeramente, el estudio de la interrelación entre dos categorías, la de los espacios "topológicos" junto con cierta categoría "algebraica" (bien sea la de grupos, o anillos...). El lenguaje de esa interrelación es lo que se inventaron esos matemáticos. Tuvieron que inventar el concepto básico de categoría para hablar de la comunicación entre tales universos matemáticos. Hablar de "transformaciones naturales", funtores...

Pero han ocurrido otros acontecimientos notables, sugerentes y fundamentales tras estos primeros inventos. Giran en torno al nombre de Grothendieck, Lawvere, en lo que concierne a fundamentos, lógica, etc.

Lawvere es otro matemático, en vida (2003), que es, por cierto, coautor de los pocos libros de iniciación que tenemos en esto. Uno de estos libros se ha traducido al castellano ("Matemáticas Conceptuales: una primera introducción a categorías". Siglo XXI. 2002.).

Hay cierto tipo de categorías, los Topos, (cuya definición más básica es la dada por Lawvere (ver referencias abajo), y que éste matemático usa para su interesante labor en fundamentos de la ciencia en general). Los topos (¡)generalizan el comportamiento de la categoría "conjuntos finitos"(!) (fijémonos, esta categoría, fabricada con los conjuntos, que va a dar cuenta de cómo nos aparece el universo "conjuntos finitos", como universo de flechas y objetos, ¡va a ser una categoría!, y de las más básicas que hay: a ella "reducimos" a veces mucho de lo que hacemos o pensamos):

Lógica y categorías II: Categoría de "conjuntos finitos" y lógica.

---- "Conjuntos finitos" es la categoría que consiste en:

"Objetos": los objetos son los conjuntos, "bolsas", "fundas" con una cantidad finita de bolitas y

"Morfismos": que son las simples aplicaciones entre las bolsas. El concepto de aplicación debe ser recordado: una aplicación del conjunto A al conjunto B debe asignar un elemento de B ¡A CADA! elemento de A. Esto es, para todo a en A, que elijamos, debe existir un b en B que sea "imagen" de dicho a en A. Si el concepto de aplicación no fuera posible ni útil no existiría esta categoría, pues la componibilidad y la asociatividad de las flechas, que son en realidad las cosas más fundamentales en matemáticas, nos obligan a definir como acabamos de hacer el concepto de aplicación.

---- Queremos mostrar cómo lo que perseguimos es el generalizar fenómenos básicos que ocurren en la categoría de "conjuntos finitos"; con ello vamos a poder dar un sentido interno y objetivo a la lógica en otras categorías, si es que se puede hacer tal cosa en ellas.

La lógica contiene la posibilidad de decir que algo sea verdadero o falso. Por ejemplo, si tenemos una bolsa de bolitas, A, podemos preguntarnos cuáles de esas bolas cumplen cierta propiedad (ser rojas). Entonces, como véis, podéis asociar una cierta aplicación del conjunto A de bolas hacia un conjunto con dos elementos:

, (v por "verdadero" y f por "falso"), y que podéis visualizar como una bolsa que contiene dos bolas que llamamos "v" y "f". Esta aplicación lleva cada bola roja en A hacia "v" y cada bola en A que sea de otro color hacia f (contamos con que sus colores están bien diferenciados).

Este es cierto "rasgo" de la lógica, que, como véis, hemos relacionado con lo que es importante para nuestro concepto de categoría y en la categoría en la que nos encontramos: la flecha, el morfismo.

Esto que acabamos de hacer aclara este hecho: a cada parte de un conjunto dado A, osea, la parte de un conjunto que cumple cierta propiedad ("ser la parte de A que consiste en todas sus bolas rojas"), podemos asociar una, y sólo una flecha hacia el conjunto . Este conjunto se llama "objeto de valores de verdad", y como véis, también pertenece a esta categoría concreta, a este universo: es simplemente el conjunto de dos bolas, ¡ el 2 !

Acabamos de objetivar cierto rasgo de la lógica en una categoría; una categoría simple pero muy útil para suministrarnos intuiciones, la de los conjuntos finitos. Los demás conceptos de la lógica, los cuantificadores lógicos (el existe, el para todo...), etc, tendrán su objetivación correspondiente, pero siempre en términos de lo que tenemos en nuestro universo, es decir, de flechas y objetos, por eso decimos 'objetivar'.

Ahora bien, y ahora es cuando viene una idea fundamental y que pone como condición de las matemáticas la idea de "verdad parcial":

¿Y en otras categorías? ¿Se podrá hacer esto en todas?

¿En cuáles?

Esto es, ¿habría por ejemplo "objetos de valores de verdad" en otras?

Pues sí, para esto se han inventado un tipo de categorías, llamadas Topos. Para que una categoría, para que cierto universo de relaciones, sea un topos, esto es, se comporte como aquella de conjuntos finitos (tenga un cierto "objeto de valores de verdad", etc...), debe cumplir ciertas "reglas", que cumple la categoría "conjuntos finitos" (sólo hemos "visto" la del "objeto de valores de verdad"). Pero cuidado, fijarse por ejemplo en que el objeto "valores de verdad" ¡no va a tener por qué ser el simple 2!, ya que ¿qué es 2 en otro universo matemático que no sea el de "conjuntos finitos"? Pensad que los objetos en otras categorías pueden ser cosas y son cosas muy distintas que "bolsas de bolitas". Los universos del ser-matemático, del ser, son algo muy loco --el ser está muy loco--, no son tan sencillos como "conjuntos finitos".

Así que en un topos --como vimos que ocurre en "conjuntos finitos"-- a toda parte de cierto objeto "A", a todo subobjeto de A, se le va a poder asociar una flecha desde el objeto del cual es subobjeto hacia el objeto "valores de verdad".

William Lawvere y los desarrolladores de estas teorías han permitido a un filósofo francés que también está vivo (2005), Alain Badiou, decir cosas como las siguientes en relación a la internalización de la lógica. (La lógica es cierta "dimensión" interna a cada universo matemático, en cada categoría que sea un Topos, y por cierto, cuando Badiou dice "ontología" es como si dijera "matemáticas"): "Así se cumple el deseo de Aristóteles: que la lógica se prescriba ontológicamente. Prescripción ejercida, sin embargo, no a partir de la equivocidad del ser, sino, al contrario, a partir de su univocidad. Cosa que arrastra a la filosofía, sometida a la condición de las matemáticas, a repensar e

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